Stetigkeit

02.01.2023, 16:10	holaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit Meine Frage: Seien f, g : R->R stetige Funktionen mit f(x) = g(x) für alle x aus Q. Zeigen Sie: Dann gilt auch f(x) = g(x) für alle x aus R. Meine Ideen: Aus den Bedingungen können wir schließen, dass Für alle E>0 gibt es ein D>0 für alle x aus R \|x-a\|<D -> \|f(x)-f(a)\|<E \|x-a\|<D -> \|g(x)-g(a)\|<E Und außerdem ist für alle m aus Z und n aus Z/{0}: f(m/n)=g(m/n) Meine Idee ist es mit der Definition zu arbeiten. Ich muss ja irgendwie zeigen dass f(x)=g(x) für alle x. Es ist ja auch logisch, dass das gilt, aber es zu zeigen ist die Schwierigkeit. Vielleicht kann man auch die Tatsache benutzen, dass in jedem Intervall (a,b) ein x aus Q enthalten ist.
02.01.2023, 18:11	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit Man soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} h(x):=f(x)-g(x)=0 \end{eqnarray}$ für alle reellen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ Für rationale $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ weiß man das nach Voraussetzung. Natürlich benutzt man im Beweis, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen. Also nimmt man sich ein reelles $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ und eine Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ rationaler Zahlen mit $\begin{eqnarray} \lim x_n=x_0 \end{eqnarray}$ und die Stetigkeit von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ erledigt den Rest. Wenn man sich auf Umgebungen kapriziert, muss man nur beachten, dass $\begin{eqnarray} h(x_0)-h(x)=h(x_0) \end{eqnarray}$ für alle rationalen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$
02.01.2023, 21:03	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit Ist x0 +1/n eine Folge rationaler zahlen? Eigentlich ja nicht, da wenn z.B x = sqrt{2} ist, dann ist ja keines der Folgenglieder rational. Andererseits wie bekomme ich eine rationale Folge mit sqrt{2} als Grenzwert? sqrt steht für Wurzel 2 keine Ahnung wie man das richtig formatiert
02.01.2023, 21:27	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit Also mal meine Beweisskizze: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to (\infty) } x_{n} = x_{0} <br /> \Rightarrow \lim_{n \to (\infty) } h(x_{n}) = h(x_{0}) <br /> \Rightarrow \lim_{n \to (\infty) } f(x_{n})-g(x_{n}) = f(x_{0})-g(x_{0})<br /> \Rightarrow \lim_{n \to (\infty) } 0 = f(x_{0})-g(x_{0})<br /> \Rightarrow f(x_{0})=g(x_{0})<br /> \Rightarrow \end{eqnarray}$ Für alle x \in R ist f(x)=g(x)
02.01.2023, 21:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit $\begin{eqnarray} x_0+\frac 1 n \end{eqnarray}$ ist genau dann eine rationale Zahl, wenn $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ rational ist. Es spielt aber keine Rolle, weil man die Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ nicht explizit angeben muss. Es genügt zu begründen, dass es so eine Folge gibt. Für eine rationale Approximation an $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ kann man das Heron-Verfahren bemühen. Notwendig ist das wie gesagt nicht.

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