Stetigkeit untersuchen

03.01.2023, 11:58

Weduschij

Stetigkeit untersuchen

Meine Frage:
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches auf Stetigkeit.

$\begin{eqnarray*} f_{4} : \mathbb R /{1} \Rightarrow \mathbb R , f_{4}(x)= \frac{(x-3) * e^{5x^{2}-4x } -2x}{x^{3}-x^{2}+x-1 } <br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Ansatz (logisch) ist es, das Epsilon-Delta Kriterium zu benutzen. Dabei wäre es meine Idee mit Abschätzungen zu arbeiten. Um einen besseren Überblick zu erhalten, dachte ich daran, die Gleichung zu vereinfachen. Dabei ist mir nur gelungen, den Nenner umzuschreiben zu:
$\begin{eqnarray*} (x^{2}+1)*(x-1) \end{eqnarray*}$

03.01.2023, 12:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Weduschij
Mein Ansatz (logisch) ist es, das Epsilon-Delta Kriterium zu benutzen.

Muss das sein? Warum nicht die viel handlicheren Kriterien nutzen, als da wären:

1) Summe, Differenz und Produkt stetiger Funktionen sind wieder stetig. Und auch der Quotient stetiger Funktionen ist stetig zumindest an den Stellen, die keine Nullstellen der Nennerfunktion sind.

2) Die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig.

Dieses 2) würde man im vorliegenden Fall etwa für folgende "Stetigkeitskette" verwenden $\begin{eqnarray*} x\to 5x^2-4x\to e^{5x^2-4x} \end{eqnarray*}$ usw.

03.01.2023, 12:47

Weduschij

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Das macht alles deutlich einfacher !

Beweisskizze:
$\begin{eqnarray*} x \Rightarrow 5x^{2} -4x \Rightarrow e^{5x^{2} -4x} <br /> \Rightarrow (x-3) * e^{5x^{2} -4x} \Rightarrow (x-3) * e^{5x^{2} -4x} -2x<br /> x-1\Rightarrow x^{2} + x-1 \Rightarrow x^{3} - x^{2} + x-1 <br /> \Rightarrow \frac{(x-3) * e^{5x^{2} -4x} -2x}{x^{3} - x^{2} + x-1 } \end{eqnarray*}$

Die Pfeile stehen dann dafür, dass sie Stetigkeit darauf folgt

03.01.2023, 12:52

HAL 9000

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Genau so ist es. Und da x=1 die einzige reelle Nullstelle der Nennerfunktion ist, und diese Stelle ja aber auch nicht zur Definitionsmenge der Gesamtfunktion gehört, haben wir somit Stetigkeit auf der gesamten Definitionsmenge.

03.01.2023, 12:55

Weduschij

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Danke!

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