L'Hopital Log Grenzwert Umformung

03.01.2023, 12:32	AndiBaum	Auf diesen Beitrag antworten »
L'Hopital Log Grenzwert Umformung Meine Frage: Können diese Log-Umformungen für L'Hopital generell einfach so gemacht werden, oder müsste man am Schluss eigentlich jeweils noch e^"Log-Grenzwert" rechnen? Meine Ideen: .
03.01.2023, 12:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich muss $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0^+} \sin(x)^x = \lim_{x\to 0^+} \exp(x\cdot \ln(\sin(x))) \end{eqnarray}$ gerechnet werden!!! D.h., das abschließende $\begin{eqnarray} \exp \end{eqnarray}$ darf selbstverständlich nicht entfallen. Es muss übrigens nicht immer L'Hospital sein. Bei 4. würde ich eher ein Sandwich empfehlen: Wegen $\begin{eqnarray} e^x > x \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gilt für alle $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ die Einschachtelung $\begin{eqnarray} e^x < e^x + x < 2e^x \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} e < \left(e^x+x\right)^{\frac{1}{x}} < e\cdot 2^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ Grenzübergang $\begin{eqnarray} x\to\infty \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ an beiden Enden des Sandwichs, daher auch Grenzwert $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ für den Term dazwischen.
03.01.2023, 13:41	AndiBaum	Auf diesen Beitrag antworten »
L'Hopital Log Grenzwert Umformung Klare Antwort, besten Dank :-)

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