Abzählbarkeit Q Schnitt [0,1]

03.01.2023, 22:12

Weduschij

Abzählbarkeit Q Schnitt [0,1]

Meine Frage:
Sei f : N -> Q $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ [0, 1] eine Abzählung von Q $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ [0, 1]. Berechnen Sie alle Häufungspunkte der
Folge (an)n aus N, definiert durch an := f(n). Geben Sie auch $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \liminf_{n \to \infty } a_{n} \end{eqnarray*}$
an.

Meine Ideen:
Da Sei f : N -> Q $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ [0, 1] eine Abzählung von Q $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ [0, 1] ist, wissen wir ja, dass f(n)= a/b für $\begin{eqnarray*} 0\leq a\leq b\leq 1 \end{eqnarray*}$ und a,b aus Z. Häufungspunkte sind Grenzwerte von konvergenten Teilfolgen. Die Frage die ich mir stelle, wie kann ich zeigen, dass die Teilfolgen gegen gewisse a/b konvergieren. Ist nicht bei jedem a/b in jeder Epsilon-Umgebung unendlich viele Rationale Zahlen. kann ich für alle Rationale Zahlen zwischen 0 und 1 sagen, dass sie Häufungpunkt sind?

03.01.2023, 22:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Weduschij
kann ich für alle Rationale Zahlen zwischen 0 und 1 sagen, dass sie Häufungpunkt sind?

Ja, aber nicht nur die: Alle reellen Zahlen dieses Intervalls [0,1] sind Häufungspunkte!!! So absurd es im ersten Moment klingt: Es gibt also mehr Häufungspunkte als Folgenglieder. Augenzwinkern

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