Populationsmodell

04.01.2023, 09:49	Jennyhelp	Auf diesen Beitrag antworten »
Populationsmodell Meine Frage: Gegeben sei ein Populationsmodell: Nstrich (t)/N(t)=r(1-e hoch(N(t)/K-1)) Mit N(0)=5 und K,r>0 und konstant. a) Gibt es Gleichgewichtslösungen? Ist N(t) unter den Bedingungen N(0)>0 immer wachsend? Was passiert wenn t gegen unendlich strebt/gibt es eine obere Grenze? b) wie lässt sich das Wachstumgesetz bei t=0 durch ein lineares Modell aproximieren? c) Eine Messung ergibt, dass N(10)=0.9K. Wie lässt sich das Wachstumgesetz bei t=10 durch ein lineares Modell aproximieren? Meine Ideen: Ich habe ehrlich gesagt nicht wirklich eine Ahnung was machen.. Angefangen habe ich mit 5=r(1-e hoch -1) -> r=5/(1-e hoch-1)=7.91 aber das scheint falsch Sei Nstrich (0)=N(0)r(1-e hoch (N(t)/K-1)) und N(0)>0, dann ist N(0)r>0, und die Klammer fallabhägig (aber mit N(0)/K positiv) Hilfe, ich brauche diese Lösung, um an der Prüfung teilnehmen zu können?
04.01.2023, 11:37	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a). Gleichgewicht bedeutet, dass sich nichts ändert, also das Verschwinden der Ableitung. Zunächst wäre also die Bedingung $\begin{eqnarray} N'(t) = 0 \end{eqnarray}$ in die Dgl. einzusetzen. Zu b). Zu einer autonomen Dgl. $\begin{eqnarray} x'=f(x) \end{eqnarray}$ hat man für $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in der Nähe einer Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ die lineare Näherung $\begin{eqnarray} f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). \end{eqnarray}$ Hier ist $\begin{eqnarray} N'=f(N) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(N) := N\cdot r\cdot (1-\mathrm e^{\frac{N}{K}-1}). \end{eqnarray}$
04.01.2023, 12:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei b) würde ich noch einen Unterschied sehen zwischen Linearer Näherung der Funktion und Linearem Modell im Sinne (lokal) Lineare DGL: Letzteres wäre etwa $\begin{eqnarray} N'(t) \approx \lambda N(t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda:=r\left(1-e^{\frac{N(t^)}{K}-1}\right) \end{eqnarray}$ und das für $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray} t^* \end{eqnarray*}$ .

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