Konvergenz von der Reihe (-1)^n*Wurzel(n)/(n+1)

04.01.2023, 14:13	student2022	Auf diesen Beitrag antworten »
*Konvergenz von der Reihe (-1)^nWurzel(n)/(n+1) Meine Frage:** Hallo, ich habe ein Problem bei der Bestimmung der Konvergenz der Reihe (-1)^n?n/(n+1) (siehe Foto) Meine Ideen:* Meine Idee war die Konvergenz mithilfe des Leibniz-Kriteriums zu bestimmen. Dafür muss ich ja zeigen, dass der nicht alternierende Teil eine monoton fallende Nullfolge ist. Bei dem Zeigen der Nullfolge hatte ich kein Problem, jedoch weiß ich nun nicht recht, wie ich die Monotonie zeigen soll. Hier wäre ja schließlich zu zeigen, dass a(n+1)<a(n) ist. Ich habe umgeformt, aber ich komme nie auf eine aussagekräftige Lösung. Vielen Dank schon im Voraus für die Hilfe!
04.01.2023, 14:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, man kann ja versuchen, die nachzuweisende Ungleichung Schritt für Schritt äquivalent umzuformen, bis man eine gesicherte Aussage erhält: $\begin{eqnarray} a_{n+1} < a_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{n+1}}{n+2} < \frac{\sqrt{n}}{n+1}\qquad \Big\|~\cdot (n+1)(n+2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (n+1)\sqrt{n+1} < (n+2)\sqrt{n}\qquad \Big\|~()^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^3+3n^2+3n+1 < n^3+4n^2+4n\qquad \Big\|~-n^3-3n^2-3n-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 < n^2+n-1 = n(n+1)-1 \end{eqnarray}$ gültig für alle $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ . D.h., die Monotonie startet nicht schon bei Index 0, sondern erst ab Index 1, aber das ist beim Leibniz-Kriterium irrelevant: Dort ist nur wichtig, dass diese Monotonie ab einem Index $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ gilt, wie groß der auch immer sein mag.

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