Beweisversuch - Quadratzahlen |
| 05.01.2023, 00:12 | makrel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweisversuch - Quadratzahlen Ich bin aktuell noch Schüler und habe mich an einen ersten Beweis herangewagt, Im Anhang befindet sich das ein Foto meiner Schrift. Es geht um Quadratzahlen. Gerne würde ich Feedback zum Vorgehen und möglichen Fehlern hören. Falls es diletantisch ist (wahrscheinlich), schonmal Verzeihung für Augen- und Hirnschmerz. |
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| 05.01.2023, 08:42 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für einen Schüler ist das eine sehr gute Erkenntnis, und der Beweis ist fast perfekt. Durch wenige Änderungen wird daraus ein "Beweis durch vollständige Induktion", und genau so habe ich ihn während meines Studiums kennengelernt. Man kann auch sagen, dass die Differenz von Quadratzahlen genau die ungeraden Zahlen sind, denn das erkennt man an deiner Tabelle besonders gut. |
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| 05.01.2023, 09:42 | makrel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke Elvis. Durch welche Änderungen würde der Beweis zur vollständigen Induktion? Das mit den ungeraden Zahlen hat mich auch beschäftigt. Ursprung 1 + 2 (3) + 2 (5) … usw. Aber das Muster und der Beweis müssen ja theoretisch auch für die gebrochenen Zahlen gelten,weil die Steigung konstant ist, oder? Dürfte ich den Geltungsraum in meiner Aussage also einfach auf Q erweitern? Welche Vorgehensweise würdest du mir empfehlen, wenn ich mich weiter und tiefer mit Beweisen beschäftigen möchte? |
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| 05.01.2023, 09:52 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich möchte da Elvis widersprechen: Ein Beweis per Vollständiger Induktion ist hier nicht nötig. Es besteht in der Beweisargumentation nirgendwo der Anlass, auf die Richtigkeit der Behauptung für den "Vorgänger" zurückgreifen zu müssen, denn die Rechnung steht für sich selbst, ohne einen solchen Rückgriff. |
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| 05.01.2023, 12:46 | makrel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo HAL 9000, Interessant. Mit welcher Argumentationsgruktur wäre denn beispielsweise ein Beweis für die Richtigkeit der vorherigen Zahl nötig gewesen? Ist das also ein Kriterium für einen Beweis nach vollständiger Induktion, dass eine Folge abgedeckt wird? |
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| 05.01.2023, 13:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Beweis für die Richtigkeit der vorherigen Zahl" ? Seltsame Formulierung, die vermuten lässt, dass du das Beweisprinzip der Vollständigen Induktion noch nicht kapiert hast. Aber zu diesem Beweisprinzip will ich hier nicht dozieren, zumal dessen Anwendung bei dieser Behauptung ja eben gar nicht nötig ist (s.o.). Mit "dass eine Folge abgedeckt wird" kann ich leider ebenfalls nichts anfangen. Vielleicht kann Elvis ja noch was dazu sagen, wieso er bei der Problemstellung hier an einen Induktionsbeweis gedacht hat. |
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| 05.01.2023, 14:19 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beh. Beweis durch vollständige Induktion (geht, auch wenn er nicht nötig ist): Wenn ich natürliche Zahlen sehe, denke ich immer an vollständige Induktion. Das gilt insbesondere, weil ich zur Zeit Gentzens Arbeiten zur Widerspruchsfreiheit der elementaren Zahlentheorie und zur Beweistheorie der transfiniten Induktion studiere. |
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| 05.01.2023, 15:20 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Selbstverständlich kann man jede Aussage zu natürlichen Zahlen mit einem Induktionsbeweis angehen: Es besteht ja keine Verpflichtung, im Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung auch wirklich zu nutzen... |
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| 05.01.2023, 15:21 | makrel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig, deswegen fragte ich ja, was eine vollständige Induktion ausmacht. Im Eingangspost schrieb ich, dass ich mit der Praxis des Beweisens an sich gerade begonnen habe. Scheinbar gibt es ja auch unterschiedliche Perspektiven bezüglich der Anwendungspraxis, die aber vermutlich für mich noch nicht relevant sind? Welche Mittel wären denn eurer Erfahrung nach didaktisch klug, um sich mit Beweisen und dem Üben auseinanderzusetzen? Mein Lehrer ist leider eher der Typ „Taschenrechner rausholen“ und Beweise werden in unserem Unterricht nicht thematisiert. |
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| 05.01.2023, 18:27 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweise sind das Salz in der Mathematiksuppe. "Was beweisbar ist, soll in einer Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden." (Richard Dedekind, "Was sind und was sollen die Zahlen ?", "Vorwort zur ersten Auflage", 5. Oktober 1887) Beweise sind selten einfach und meistens kompliziert. Fertige Beweise kann man nachlesen und manchmal sogar verstehen. Für manche Beweise haben Mathematiker hunderte oder tausende Jahre gebraucht, das macht man nicht so nebenbei in der Schule. Versuchen darf jeder, wer will darf auch Mathematik studieren, da lernt man dann (hoffentlich) beweisen. |
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