Wahrscheinlichkeitsrechnung + Standardnormalverteilung

06.01.2023, 15:14

Basic90

Wahrscheinlichkeitsrechnung + Standardnormalverteilung

Hallo zusammen,
ich habe aktuell die folgenden beiden Aufgaben in Statistik zu lösen und bin leider noch sehr unsicher auf diesem Gebiet.
Ich freue mich über jeden Tipp zur Lösungsfindung - vielen Dank! LG Freude

1) Angabe: Ein Team besteht aus 5 Personen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 1 Jahr genau 4 Personen nicht mehr im Unternehmen sind, wenn die jährl. Fluktuation 45% beträgt?

Mein Ansatz:
Bernoulliformel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} 0,45^{4} * \left(1-0,45\right)^{5-4} \end{eqnarray*}$

Da bekomme ich am Ende 0,11 = 11% als Ergebnis

2) X ist standardnormalverteilt. Ermitteln Sie schriftlich mit Hilfe der Tabelle (siehe Anhang):

a) P (X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ - 1,81)
b) P (X < - 1,81)
c) P (X $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0,98)
d) P (-0,46 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0,46)
e) xo sodass P (X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ xo = 0.0129

Mein Ansatz:
a) Aus der Tabelle ablesen = 0,0351
b) ?
c) Bei der Standardnormalverteilung sind die pos. und neg. Werte gleich, ich lese bei - 0,98 ab: 0,1365
d) ?
e) ich lese den Z-Wert anhand der Wahrscheinlichkeit "umgekehrt" aus der Tabelle: 2,23

06.01.2023, 15:27

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

b) ist der gleiche Wert wie a), da es sich hier um eine stetige Zufallsgröße handelt: Für die gilt stets $\begin{eqnarray*} P(X=a)=0 \end{eqnarray*}$ für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

c) "Bei der Standardnormalverteilung sind die pos. und neg. Werte gleich" - NEIN!

Das gilt in dieser Weise für die Dichte $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , nicht für die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ . Für jene gilt die andere Symmetrie $\begin{eqnarray*} \Phi(x) = 1-\Phi(-x) \end{eqnarray*}$ . (*)

Dein Wert ist (bis auf den Zifferndreher) dennoch richtig, aber nur wegen $\begin{eqnarray*} P(X\geq 0.98) = 1-P(X<0.98) = 1-\Phi(0.98) = \Phi(-0.98) \end{eqnarray*}$ , letzteres eben wegen (*).

d) Intervallwahrscheinlichkeiten werden per Differenz von Verteilungsfunktionswerten berechnet: $\begin{eqnarray*} P(-0.46\leq X\leq 0.46) = \Phi(0.46)-\Phi(-0.46) \end{eqnarray*}$ , berechenbar mit Tabelle sowie (*).

e) Vorzeichenfehler: Was du ablesen solltest, ist $\begin{eqnarray*} -2.23 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Ungewöhnlich, dass deine Tabelle $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \end{eqnarray*}$ nur für negative Argumente auflistet. Üblich sind eher Tabellen nur für positive Argumente. Wie auch immer, (*) liefert die Verbindung zum jeweils anderen Argumentbereich.

06.01.2023, 18:02

Basic90

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
vielen Dank für deine ausführliche und schnelle Hilfe!

Zu 1) aus meinem ursprünglichen Beitrag, liege ich da richtig? Oder müsste ich für k 1 statt 4 in die Formel einsetzen, wenn man die Wahrscheinlichkeit für 4 weggegangene Mitarbeiter (= 1 verbliebenen Mitarbeiter) wissen möchte?

Zu 2d) Danke für den Tipp.
Mein Ansatz: In der Tabelle steht der Hinweis "ist Zo positiv, ist 1-P zu verwenden).
Davon ausgehend:

0,3228 - (1-0,3228) = - 0,3544

Korrekt?

Warum wir so eine ungewöhnliche Tabelle im Skript haben, kann ich leider nicht beantworten. Ist aber die einzig vorhandene.

LG

06.01.2023, 18:58

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Basic90
Zu 2d) Danke für den Tipp.
Mein Ansatz: In der Tabelle steht der Hinweis "ist Zo positiv, ist 1-P zu verwenden).
Davon ausgehend:

0,3228 - (1-0,3228) = - 0,3544

Korrekt?

Da hätte dir schon das Ergebnis sagen müssen: Negative Wahrscheinlichkeit??? Forum Kloppe

Richtig wäre (1-0,3228) - 0,3228 = 0,3544, denn es ist ja $\begin{eqnarray*} \Phi(-0.46) \end{eqnarray*}$ gelistet, nicht $\begin{eqnarray*} \Phi(0.46) \end{eqnarray*}$ .

06.01.2023, 19:08

Basic90

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Gott

Neue Frage »

Antworten »

Wahrscheinlichkeitsrechnung + Standardnormalverteilung

Verwandte Themen