Letzte Zeile einer Matrix

06.01.2023, 21:09

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Letzte Zeile einer Matrix

Meine Frage:
Die letzte Zelle bereitet mir große Schwierigkeiten.

Meine Ideen:
Meine Idee ist die letzte Zeile auf dem Bild.

06.01.2023, 21:26

Finn_

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Setze $\begin{eqnarray*} N := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Hiermit gilt $\begin{eqnarray*} A = xE + N. \end{eqnarray*}$ Außerdem ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ nilpotent mit $\begin{eqnarray*} N^3=0. \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} xE \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ kommutiert, darfst du für $\begin{eqnarray*} (xE+N)^n \end{eqnarray*}$ den binomischen Lehrsatz benutzen.

06.01.2023, 22:07

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Zitat:

Original von Finn_
Setze $\begin{eqnarray*} N := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Hiermit gilt $\begin{eqnarray*} A = xE + N. \end{eqnarray*}$ Außerdem ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ nilpotent mit $\begin{eqnarray*} N^3=0. \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} xE \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ kommutiert, darfst du für $\begin{eqnarray*} (xE+N)^n \end{eqnarray*}$ den binomischen Lehrsatz benutzen.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Leider verstehe ich absolut nichts davon. Welche Themen muss ich erarbeiten um es nachvollziehen zu können?

06.01.2023, 23:14

Finn_

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Ein wenig ausführlicher: Wir haben

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} x & 1 & 0\\ 0 & x & 1\\ 0 & 0 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & 0 & 0\\ 0 & x & 0\\ 0 & 0 & x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = xE+N. \end{eqnarray*}$

Beispielsweise erhält man nun den Rechenweg

$\begin{eqnarray*} A^2 = (xE+N)^2 = (xE+N)(xE+N) = (xE)^2 + xEN + xNE + N^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x^2 E + 2xN + N^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x^2\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2x\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} x^2 & 0 & 0\\ 0 & x^2 & 0\\ 0 & 0 & x^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2x & 0\\ 0 & 0 & 2x\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 & 2x & 1\\ 0 & x^2 & 2x\\ 0 & 0 & x^2 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Zum tieferen Verständnis betrachte zunächst

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b\\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Dies ist die Matrixdarstellung der dualen Zahl $\begin{eqnarray*} a+b\varepsilon \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon^2=0. \end{eqnarray*}$ Implementiert man die Arithmetik dualer Zahlen am Computer, kann die erste Ableitung einer Funktion an einer Stelle automatisiert berechnet werden. Mit höherem Nilpotenzgrad umfasst die Arithmetik dann höhere Ableitungen bzw. Koeffizienten des Taylorpolynoms der Funktion.

06.01.2023, 23:34

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Mensch das ist eine sehr liebenswürdige Geste! Ich muss das aber trotzdem genauer verstehen, um damit arbeiten zu können. Wie kann ich diese Methode nutzen um an die gesuchte Zelle zu kommen?

06.01.2023, 23:54

Finn_

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Nun ja, mit dem binomischen Lehrsatz findet sich

$\begin{eqnarray*} A^n = (xE+N)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(xE)^{n-k}N^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \binom{n}{0}(xE)^n + \binom{n}{1}(xE)^{n-1}N + \binom{n}{2}(xE)^{n-2} N^2 + 0 + 0 + 0 + \ldots + 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x^n E + nx^{n-1}N + \frac{1}{2}n(n-1)x^{n-2}N^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} x^n & 0 & 0\\ 0 & x^n & 0\\ 0 & 0 & x^n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & nx^{n-1} & 0\\ 0 & 0 & nx^{n-1}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{2}n(n-1)x^{n-2}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} x^n & nx^{n-1} & \tfrac{1}{2}n(n-1)x^{n-2}\\ 0 & x^n & nx^{n-1}\\ 0 & 0 & x^n \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

07.01.2023, 00:41

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Mensch das ist was ganz Neues für mich! Die grünen Haken sollen zeigen, dass ich es bis dahin verstanden habe. Ab dem roten X stellen sich folgende Fragen: warum ist diese Zeile das Ergebnis für die fehlende Zelle? woher kommt das 1/2? Woher weiß ich was ich aus der Zeile (mit dem roten X markiert) für die gesuchte Zelle nehmen soll? Denn die Zelle ist nicht die vereinfachte Form oder? Es fehlt zum Beispiel das N^2 und alles vor dem 1/2.

07.01.2023, 01:27

Finn_

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Mit der Rekurrenz $\begin{eqnarray*} n! = n(n-1)! \end{eqnarray*}$ vereinfacht sich der Binomialkoeffizient zu

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{1}{2}\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} = \frac{1}{2}n(n-1). \end{eqnarray*}$

Weiterhin gilt $\begin{eqnarray*} (xE)^{n-2}N^2 = x^{n-2}E^{n-2}N^2 = x^{n-2}N^2. \end{eqnarray*}$ Die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist halt das neutrale Element; die bewirkt nichts.

Mit $\begin{eqnarray*} N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ergibt sich nun

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}n(n-1)x^{n-2}N^2 = \frac{1}{2}n(n-1)x^{n-2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{1}{2}n(n-1)x^{n-2}\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

07.01.2023, 02:09

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Das ist der Schlüssel! Da wäre ich mit meinem Wissensstand nie drauf gekommen. Eine sehr feine Sache. Ich bedanke mich herzlich und versuche hier eine gute Bewertung zu hinterlassen falls das möglich ist. Jetzt kann ich einschlafen! (am Anfang habe ich mir gedacht, Gaußsche Summenformel... würde also auch gehen smile

)

07.01.2023, 12:34

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Nachdem Finn_ die allgemeine Form von $\begin{eqnarray*} A^n \end{eqnarray*}$ geliefert hat, könntest du zur Übung versuchen, das mit vollständiger Induktion (nochmal) zu beweisen smile

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