Satz von Euler-Fermat umschreiben

06.01.2023, 21:56

Delta121

Satz von Euler-Fermat umschreiben

Meine Frage:
Hallo zusammen. Ich wollte fragen, ob ich den Satz von Euler-Fermat auch umschreiben kann.

Meine Ideen:
a^phi(n) mod n = 1 mod n. Ist ja dasselbe wie a^phi(n) kongruent 1 mod n oder? Vielen Dank für ein Rückmeldung.

09.01.2023, 16:41

Malcang

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Mir ist hier nicht klar, was genau wozu gehört.
Du fragst ob $\begin{eqnarray*} a^{\phi(n)} \pmod n = 1 \end{eqnarray*}$ dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} a^{\phi(n)}\equiv 1\pmod n \end{eqnarray*}$ ?

Dann ja. Beide Schreibweisen bedeuten dasselbe.

09.01.2023, 16:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malcang
Beide Schreibweisen bedeuten dasselbe.

Jein: Das Ergebnis der zweistelligen Operation $\begin{eqnarray*} m\bmod n = r \end{eqnarray*}$ liegt immer im Bereich $\begin{eqnarray*} 0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ , während Schreibweise $\begin{eqnarray*} m\equiv r\bmod n \end{eqnarray*}$ per Definition gleichbedeutend ist mit $\begin{eqnarray*} n\mid (m-r) \end{eqnarray*}$ .

Das heißt: Aus $\begin{eqnarray*} m\bmod n = r \end{eqnarray*}$ folgt stets auch $\begin{eqnarray*} m\equiv r\bmod n \end{eqnarray*}$ , die Umkehrung gilt aber nur, wenn zusätzlich $\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq n-1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Es handelt sich daher bei "mod" um ein Symbol mit zwei zwar verwandten, aber dennoch unterschiedlichen Bedeutungen - je nach Position in der Formel lassen sich beide Bedeutungen auseinanderhalten.

09.01.2023, 16:58

Malcang

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Vielen Dank für diese Klarstellung, HAL. Das hätte ich beachten sollen.

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