Geodäten

06.01.2023, 23:02	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Geodäten Hallo, betrachtet man Punkte p und q in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g), so sind Geodäten definiert als die Extremalkurven des Energiefunktionals $\begin{eqnarray} E(\gamma) := \frac{1}{2} \int_a^{b} \|\gamma^{'}(t)\|^{2} dt \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\gamma^{'}\| = \sqrt(g(\gamma^{'},\gamma^{'})\| \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \gamma(a) = p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma(b) = q \end{eqnarray}$ gefordert wird. Man kann daraus dann via Variationsrechnung die Geodätengleichung ableiten und via Picard-Lindelöf die Eindeutigkeit der Geodäte gegeben Aufpunkt bei t = 0 sowie Richtung bei t = 0 nachweisen. Nun tauchen immer wieder Formulierungen der Art Sei $\begin{eqnarray} \gamma(t) \end{eqnarray}$ die Geodäte mit $\begin{eqnarray} \gamma(0) = p, \gamma^{'}(t) = v \end{eqnarray}$ auf. Wie ist dies im Bezug auf die Extremierung des Energiefunktionsals zu interpretieren? Zu welchen Integrationsgrenzen extremiert die Geodäte das Energiefunktional? Nach Herleitung sollte Picard-Lindelöf ja nur die Existenz eines Intervalls der Art (-eps,eps) mit eps > 0 liefern auf welchem die Geodäte die Geodätengleichung löst. Ist dann dieses Intervall auch das Integrationsgebiet des Integrals im Energiefunktional? Es muss ja logischerweise mindestens dieses Intervall sein, sonst wäre es keine Geodäte gemäß Extremierungseigenschaft. Also bleibt eigentlich nur die Frage was passiert wenn man eps vergrößert, oder liege ich falsch?

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