Wie genau funktioniert der Ausdruck "oder"?

07.01.2023, 12:05

Joel123

Wie genau funktioniert der Ausdruck "oder"?

Meine Frage:
Ich habe hier im Forum die Definition $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \cup - \infty \end{eqnarray*}$ gefunden und bin mir nicht sicher, wie ich das "oder" in dem Kontext lesen soll.

Meine Ideen:
Für mich würde ein "und" hier mehr Sinn machen, um die Zahlenmenge R auf -oo zu beschränken. Ein "oder" würde als logische Verknüpfung doch beide Mengen vereinen und nicht schneiden oder? Was keinen Sinn ergibt, da -oo in R enthalten ist.

07.01.2023, 12:31

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wie genau funktioniert der Ausdruck "oder"?
Gemeint ist die Vereinigungsmenge. Das ist durchaus sinnvoll, weil $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ keine reelle Zahl ist.

07.01.2023, 13:16

G070123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wie genau funktioniert der Ausdruck "oder"?
Wieso ist -oo nicht in R enthaliten?
R geht doch von -oo bis +oo, was immer oo bedeuten mag?
Was ist daran sinnvoll? verwirrt

07.01.2023, 13:24

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Reelle Zahlen sind Dezimalzahlen. $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist keine Dezimalzahl, also keine reelle Zahl.

07.01.2023, 13:47

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir können uns allerdings auch in die Nichtstandardanalysis begeben, in der mit hyperreellen Zahlen gerechnet wird. Aber ob das die Sache leichter macht…

Viele Grüße
Steffen

07.01.2023, 13:52

G070123

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll man sich unter dieser Vereinigungsmenge vorstellen?

07.01.2023, 14:14

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dir unbedingt etwas vorstellen willst, dann stelle dir alle Dezimalzahlen als Punkte auf einer Geraden und $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ als einen unendlich weit entfernten Punkt vor.

07.01.2023, 14:35

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von G070123
Was soll man sich unter dieser Vereinigungsmenge vorstellen?

Zu der Menge der reellen Zahlen werden noch zwei weitere Objekte $\begin{align*} \infty, - \infty \end{align*}$ hinzugenommen, die selbst keine reellen Zahlen sind, die man sich aber größer beziehungsweise kleiner als jede reelle Zahl vorstellt:

$\begin{align*} - \infty < x < \infty \ \ \mbox{für alle} \ x \in \mathbb{R} \end{align*}$

Man kann das auch veranschaulichen, wenn man sich die reellen Zahlen nicht auf einer Zahlengeraden, sondern auf einer Strecke liegend denkt. Dazu nimmt man irgendeine streng monoton wachsende stetige Abbildung, die die reellen Zahlen bijektiv auf ein offenes beschränktes Intervall abbildet, etwa

$\begin{align*} f: \ x \mapsto y = \arctan(x) \, ; \ \ x \in \mathbb{R} \, , \ \ y \in \left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right) \end{align*}$

und erweitert die Definition, indem man $\begin{align*} \infty \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} - \infty \end{align*}$ auf die Randpunkte des Intervalls legt:

$\begin{align*} f(- \infty) = - \frac{\pi}{2} \, , \ \ f(\infty) = \frac{\pi}{2} \end{align*}$

Identifiziert man nun geometrisch $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ mit $\begin{align*} x \end{align*}$ , so liegen die reellen Zahlen auf einer offenen Strecke, in deren Randpunkten $\begin{align*} \infty \end{align*}$ und $\begin{align*} - \infty \end{align*}$ liegen.

Man kann für den Vorgang auch die viel einfachere Funktion

$\begin{align*} f: \ x \mapsto y = \frac{x}{1+|x|} \, ; \ x \in \mathbb{R} \, , \ y \in \left( -1,1 \right) \end{align*}$

nehmen, und hat hier $\begin{align*} f(\infty)=1, \ f(- \infty) = -1 \end{align*}$ zu setzen. Dieses $\begin{align*} f \end{align*}$ läßt sich geometrisch leicht veranschaulichen. Siehe hier und die folgenden Beiträge.

Neue Frage »

Antworten »

Wie genau funktioniert der Ausdruck "oder"?

Verwandte Themen