Getränkebestellung

08.01.2023, 13:16

Cinzio22

Getränkebestellung

Hallo zusammen

40 Personen können 4 verschiedene Getränke wählen. Wie viele verschiedene Bestellungen sind möglich, wenn alle ein Getränk bestellen?

--> Es sind "43 über 3" Möglichkeiten. Aber: Woher kommt die 3?

Danke für die Auskunft.

08.01.2023, 13:36

HAL 9000

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Eigentlich sind es $\begin{eqnarray*} 4^{40} \end{eqnarray*}$ mögliche Bestellungen - es sei denn, deine 40 Personen sind ununterscheidbar (Klone?).

Oder geht es nur darum, wieviele Getränke von jeder Sorte geordert werden?

08.01.2023, 13:36

adiutor62

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RE: Getränkebestellung
Wenn jeder aus den 4 eins auswählen darf,
gibt es 4^40 mögliche Bestellreihenfolgen.

Die Aufgabe ist nicht ganz klar formuliert.

08.01.2023, 13:36

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 43 \\ 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 43 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es sind Kombinationen MIT Wiederholung.

$\begin{eqnarray*} {K_w}^n_k = \binom{n+k-1}{k} = {K_w}^{40}_4 = \binom{43}{40} = \binom{..}{..} \end{eqnarray*}$

Es dürfte so sein, wie beim Kuchen essen.

mY+

08.01.2023, 14:05

Finn_

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Es seien 0, 1, 2, 3 die vier Getränkearten. Ein Gitter:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:	3 * -- * -- * -- * -- ... -- * \| \| \| \| \| 2 * -- * -- * -- * -- ... -- * \| \| \| \| \| 1 * -- * -- * -- * -- ... -- * \| \| \| \| \| 0 * -- * -- * -- * -- ... -- * 0 1 2 3 ... 40

Ein Gitterweg heißt monton, wenn nur Schritte nach rechts oder nach oben gewährt sind. Nach rechts wird ein Getränk ausgeschenkt, nach oben zur nächsten Getränkeart gewechselt.

Die Anzahl der monotonen Gitterwege von $\begin{eqnarray*} (0, 0) \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} (x, y) \end{eqnarray*}$ beträgt

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+y)!}{x!y!} = \binom{x+y}{y}. \end{eqnarray*}$

08.01.2023, 14:34

Cinzio22

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Danke für eure Inputs!

Wenn ich euch alle richtig verstehe, ist die Aufgabe in der Tat nicht so klar gestellt, oder? Ich hätte nämlich ursprünglich auch 4^40 Bestellmöglichkeiten gesagt...

Ich verstehe nun aber die Lösung. Würde mich aber trotzdem wunder nehmen, was ihr zur Lösung 4^40 sagt (zumal sie ja auch hier gefallen ist...)

08.01.2023, 20:17

HAL 9000

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Wenn es nur um Sammelbestellungen geht (d.h. wie ich oben erwähnt hatte nur die Anzahlquadrupel der vier Getränkesorten) dann ist der Weg von Finn möglich. Oder man betrachtet es als "Kombinationen mit Wiederholung", wie schon bei deiner vorigen Anfrage:

40mal auswählen aus 4 Getränken, mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Auswahlreihenfolge

08.01.2023, 20:24

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
Es sind Kombinationen MIT Wiederholung.

$\begin{eqnarray*} {K_w}^n_k = \binom{n+k-1}{k} = {K_w}^{40}_4 = \binom{43}{40} = \binom{..}{..} \end{eqnarray*}$

Es dürfte so sein, wie beim Kuchen essen.

mY+

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