Körper / Basis

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08.01.2023, 17:05	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
Körper / Basis Meine Frage: a) Sei K ein Körper und k aus K ein Teilkörper. Zeige, dass K mit der üblichen Multiplikation und Addition ein k-Vektorraum ist. b) Sei V ein $\begin{eqnarray} F_{p} \end{eqnarray}$ -Vektorraum mit Basis $\begin{eqnarray} b_{1} , ....., b_{n} \in \end{eqnarray}$ V. Wie viele Elemente enthält V ? c) Sei K ein endlicher Körper. Zeige, dass die Anzahl der Elemente in K eine Primzahlpotenz $\begin{eqnarray} p^{r} \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Benötige Hilfe verstehe das nicht so ganz
08.01.2023, 17:27	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper / Basis Vielleicht kann mir jemand mal die Definition von Vektorräumen erklären : Definition: Ein Vektorraum über dem Körper K (kürzer: K-Vektorraum) ist eine Menge V zusammen mit einer Verknüpfung „+“ und einer „äußeren Verknüpfung“ ·: K × V -> V , so dass gelten: (VA) (V, +) ist eine abelsche Gruppe, (SM1) Für alle x aus V ist 1*x = x, (SM2) Für alle m, n aus K und x aus V ist (m + n)x = mx + nx, (SM3) Für alle m aus K und x,y aus V ist m(x + y) = mx + my, (SM4) Für alle m, n aus K und x aus V ist m · (nx) = (m · n)x. in der Aufgabe a) wird ein k-Vektorraum betrachtet, also über den Teilkörper k. Doch was ist mein V? K? Wenn V=K, dann könnte ich ja die Defintion der Vektorräumen durchgehen und würde sehen das jedes Kriterium erfüllt ist, da ich weiß, dass K ein Körper ist.
08.01.2023, 18:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Vektorraum-Axiome sind dir in abstrakter Weise offensichtlich bekannt. Bei (SM1) musst du sagen, woher das Element 1 kommt. Bei (SM2,3,4) fehlen die wichtigen Worte "für alle" bei den Vektoren x und y aus V. Leider hast du diese Axiome für den K-Vektorraum V aufgeschrieben. Schreibe dieselben Axiome für den k-Vektorraum K auf und beweise sie.
08.01.2023, 20:12	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Da laut Voraussetzung K ein Körper ist, kann man daraus folgern, dass (K,+) eine abelsch Gruppe ist. 2. "Für alle x aus K ist $\begin{eqnarray} 1_{k}x=x \end{eqnarray}$ " Das gilt, da k Teilkörper von K ist und daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} 1_{k} \in K \end{eqnarray}$ ist. Da K auch die Bedingungen eines Ringes erfüllen muss, gilt $\begin{eqnarray} 1_{k}x=1_{K}x=x \end{eqnarray}$ 3. Für alle m, n aus k und für alle x aus K ist (m + n)x = mx + nx 4.Für alle m aus k und für alle x,y aus K ist m(x + y) = mx + my, Die beiden Bedingungen beschreiben beide, dass das Distributivgesetz gilt. Da alle Elemente aus k Elemente aus K sind, müssen wir lediglich zeigen, dass in K das Distributivgesetz gilt. Da diese in allen Ringen gelten müssen, sind diese beiden Bedingungen ebenfalls erfüllt. 5 Für alle m, n aus k und für alle x aus K ist m · (nx) = (m · n)x. Da alle Elemente aus k Elemente aus K sind, müssen wir lediglich zeigen, dass in K das Assoziativgesetz gilt. Dies gilt laut Voraussetzung für in jedem Ring. q.e.d
08.01.2023, 20:28	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat jemand vielleicht einen Tipp für 1b und c ?
08.01.2023, 21:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) ist richtig b) ein typisches Element von V ist $\begin{eqnarray} x=a_1b_1+...+a_nb_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_k\in \mathbb F_p \end{eqnarray}$ , weil die Basis gegeben ist. Abzählen, fertig. c) folgt aus a) und b)
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08.01.2023, 22:05	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank
09.01.2023, 08:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Wenn du die Einzelheiten alle ausgearbeitet hast, darfst du deine Beweise veröffentlichen. Das hilft bestimmt auch anderen Interessenten.
09.01.2023, 12:06	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht kannst du mir die b) bisschen ausführlicher aufzeigen. Verstehe das nicht so ganz.
09.01.2023, 12:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
b) Wenn man eine Basis eines Vektorraums hat, dann ist jeder Vektor eine eindeutig bestimmte Linearkombination aus Basisvektoren mit Koeffizienten aus dem Körper. Der endliche Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ hat genau p Elemente, für den ersten Koeffizienten p Möglichkeiten, ..., für den n-ten Koeffizienten p Möglichkeiten, macht genau $\begin{eqnarray} p^n \end{eqnarray}$ Vektoren. c) Da muss man etwas überlegen und gegebenenfalls ein paar Voraussetzungen schaffen.

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