Satz von Radon Nikodym

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Samsara Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Radon Nikodym
Zum einen folgende Definition:

Sindund Maße auf dem Messraum (,A`), dann heißt absolut stetig bezüglich , wenn für alle AA` aus auch folgt.

Das Maß heißt singulär bezüglich , in Symbolen wenn es eine Menge gibt, so dass = 0 und \ = 0 gilt.

ich habe mir den Satz von Radon Nikodym auf Wikipedia angesehen und versucht einen Beweis auf Englisch nachzuvollziehen, das war auf grund der Sparach schon mal kaum möglich. Dieses heißt ja eigentlich, daß deutlich kleiner als ist, deshalb ist hier ja etwas anderes damit gemeint. Ich habe sowohl was von Symmetrie als auch von Reflexivität gelesen, bin mir aber nicht mehr sicher, ob ich das hier dazu passt. Ich verstehe also diesen Satz nicht und wäre für Erklärungen bzw. Tipps sehr dankbar
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Radon Nikodym
Zitat:
Original von Samsara
Dieses heißt ja eigentlich, daß deutlich kleiner als ist

Was Symbol in anderem Kontext meinen mag, ist hier irrelevant. Halte dich an die Maßtheorie-Definition von , die du am Anfang deines Beitrags ja selbst korrekt hingeschrieben hattest, an nichts anderes.

Das Symbol assoziiert, dass es sich um eine Ordnungs- oder wenigstens Halbordnungsrelation handeln könnte. Das stimmt aber nicht, Relation ist lediglich reflexiv und transitiv, aber nicht antisymmetrisch (was noch für eine Halbordnung nötig wäre).
Samsara Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Radon Nikodym
Das die Definition simmt ist mir schon klar, nur verstehe ich z.B. die Reflexivität hiervon nicht, ausser dass, wenn dann folgt , oder umgedreht. aber der Grund, weshalb dass so ist, der ist mir nicht klar. Ich habe auch folgendes gefunden,

Es seien ( ein Meßraum, zwei Maße auf A`, und endlich.
Dann ist - steitges Maß genau dann, wenn eine Dichte f bzgl. besitzt, d.h. falls



gilt für alle . Mir ist zwar klar, dass die Indikatorfunktion so aussieht, aber ich bin nicht in der Lage, dass zu erklären, weil ich es bis jetzt immer noch nicht begriffen habe. Ich habe auch versucht mir das alles mit Dichtefunktionen begreiflich zu machen. Es ist vielleicht eine Kleinigkeit, die ich aber bis jetzt nicht erkenne.
Ich habe jetzt einen Beweis mit Hilfe von Hilberträumen gelesen, dass sind soviel ich jetzt weiß vollständig normierte Vektorräume, wo jede Cauchy Folge konvergiert, also ein Banachraum. So vermute ich. Aber für das Verständnis des Satzes hat es mir bis jetzt auch nicht geholfen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Reflexiv heißt hier, dass gilt - nachdem was du so schreibst, scheint man das erstmal klarstellen zu müssen. Und das kann man mit der Definition von nachweisen. Insgesamt lese ich bei dir ein wildes Hin- und Hergespringe, ohne dass ich erkenne, was du am Ende wirklich willst. unglücklich

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Mal ordentlich formuliert:

Zitat:
Es seien ein Meßraum, zwei Maße auf , und ist -endlich.
Dann ist ein -stetiges Maß genau dann, wenn eine Dichte bzgl. besitzt, d.h. falls



gilt für alle .

Vielleicht machst du dir das erstmal anhand eines ganz einfachen Beispiels aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung klar, und zwar Verteilungen reeller Zufallsgrößen. Hierbei ist und die darauf definierte Borel-Sigmaalgebra.

1) Betrachten wir nun speziell diskrete Anzahlverteilungen, wie z.B. die Binomialverteilung, geometrische und hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung. Den zugehörigen Verteilungsmaßen ist gemein, dass sie alle auf konzentriert sind, d.h., es ist , d.h. es können nur natürliche Zahlen (inklusive 0) angenommen werden.

Als Referenzmaß, bzgl. dessen wir Dichten bestimmen wollen, betrachten wir nun das Zählmaß auf , d.h. . Das ist kein endliches Maß mehr, aber zumindest -endlich - mehr brauchen wir hier nicht. Zudem lässt sich auch leicht die Bedingung für überprüfen:

heißt , d.h. enthält keine natürlichen Zahlen. Damit ist natürlich auch , da ja dann gilt und somit .

Wie sieht nun hier die laut Radon-Nikodym existente Dichte aus? Nun, dazu schauen wir Forderung speziell für Einermengen mit an: Das bedeutet , d.h. der Dichtewert entspricht exakt der Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses .


Für andere diskrete Verteilungen (also nicht nur auf den natürlichen Zahlen) klappt das so ähnlich, nur dass man als Referenzmaß das Zählmaß auf der (höchstens abzählbaren) Wertemenge dieser Verteilung dann betrachten muss.


2) Soweit so einfach die Situation für diese diskreten Verteilungen. Für absolutstetige Verteilungen verwendet man hingegen das ebenfalls -endliche Lebesgue-Maß als Referenzmaß , und die Dinge werden eine Spur komplizierter: So nützt z.B. das hier zwar auch geltende herzlich wenig, da dort einfach nur steht, ist also zur Bestimmung der Dichte untauglich. Hier wählt man dann eher Mengen und bekommt



Andererseits ist , sofern die Verteilungsfunktion des Maßes ist. Jetzt betrachten wir , dann bekommen wir unter der zusätzlichen Annahme, dass im Punkt stetig sein soll, daraus die Forderung . Wie man sieht, klappt das ganze nur an den Differenzierbarkeitsstellen von , was aber im Fall einer absolutstetigen Verteilung für Lebesgue-fast alle reellen der Fall ist. Für die verbliebene Nullmenge an Nichtdifferenzierbarkeitsstellen darf man beliebig festlegen, dennoch ist mit dieser Konstruktion dann Forderung für alle erfüllt worden.

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Das sind schon mal zwei ganz wichtige Anwendungsfälle von Radon-Nikodym - ich hoffe, das hat schon mal etwas zur Klärung des Sinns und der Anwendung dieses Satzes beigetragen, wenn auch noch nicht zur Klärung von dessen Beweis.
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