Ausgeglichene Abbildungen

09.01.2023, 13:21

Nicksda

Ausgeglichene Abbildungen

Hallo liebes Matheboard,

ich habe eine Aufgabe wo ich gerade fest hänge:

Sei $\begin{eqnarray*} X\subset \mathbb Z\times \mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine endliche Menge. Wir nennen $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2)\in X \end{eqnarray*}$ einen inneren Punkt, wenn $\begin{eqnarray*} Y(X)={(x_1-1,x_2),(x_1+1,x_2),(x_1,x_2-1),(x_1,x_2+1)} \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist. Ansonsten heißt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Randpunkt. Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:X\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt ausgeglichen, wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4}\sum_{y\in Y(x)}f(y) \end{eqnarray*}$ für alle inneren Punkte gilt.

Man soll nun zeigen:

i) Die Menge aller ausgeglichenen Abbildungen ist ein Teilraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^X \end{eqnarray*}$ .
ii) Jede ausgeglichene Abbildung ist durch ihre Werte auf den Randpunkten eindeutig bestimmt.
iii) Zu beliebig vorgegebenen Werten für die Randpunkte von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gibt es eine ausgeglichene Abbildung auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die auf den Randpunkten die vorgegebene Werte annimmt.

Aufgabe i) habe ich kein Problem mit, das geht mit dem Unterraumkriterium:
- 0 ist die Nullabbildung, die ist ausgeglichen
- Wenn ich zwei ausgeglichene Abbildungen f,g habe, ist auch f+g ausgeglichen bzw. mit c als reeller Zahl c*f, da wir Kommutativ-/Assoziativ-/Distributivgesetz in R haben und die entstehende Summe passend umschreiben können

Ich hänge jetzt bei Teil ii), dafür haben wir noch einen Hinweis gegeben, dass wir zuerst den Fall betrachten sollen, dass die Abbildung auf den Randpunkten den Wert 0 annimmt und dann mal das Maximum bestimmen sollen.

Ich habe mir mal ein Beispiel angesehen: die Menge X ist ja eine Menge von Punkten im Koordinatensystem, wobei beide Koordinaten ganze Zahlen sind. Ein Punkt ist dann ein innerer Punkt, wenn er orthogonal von anderen Punkten umgeben ist - ob diagonal von diesem Punkt ein weiterer Punkt ist, ist irrelevant dafür.

Meine Vermutung bisher ist: wenn ich am Rand nur 0 als Funktionswert haben, dann ist die Funktion schon überall 0. Anschaulich würde ich das so begründen, dass für jeden beliebige innere Punkt der Funktionswert sich als Mittelwert der umliegenden Punkte bzw. deren Funktionswerte berechnen lässt. Wenn es sich bei diesen umliegenden Punkten um einen Randpunkt handelt, liefert mir das eine 0 in der Summe. WEnn es sich um einen weiteren inneren Punkt handelt, führe ich das Verfahren einfach nochmal durch und weil wir nur endlich viele Punkte haben, bleiben damit irgendwann nur noch Randpunkte übrig und diese liefern alle 0, also summiere ich immer nur 0en auf.

Ist das soweit nachvollziehbar und vielleicht sogar richtig? Und wie kann man das formal nachweisen, meine Skizze ist ja kein korrekter Beweis. Und warum ist es dafür relevant, dass ich am Rand nur die 0 als Funktionswert habe, das Argument "von innen nach außen" zu arbeiten müsste doch auch funktionieren, wenn dort etwas anderes als 0 rauskommt, oder?

09.01.2023, 14:36

IfindU

Ausgeglichene Abbildungen

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