Funktionalgleichung f(2a)+2*f(b) = f(f(a+b))

09.01.2023, 17:40

MasterWizz

Funktionalgleichung f(2a)+2*f(b) = f(f(a+b))

Hallo Leute Wink

Ich interessiere mich für die Lösungen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ der Funktionalgleichung $\begin{eqnarray*} f(2a)+2\cdot f(b) = f(f(a+b)) \end{eqnarray*}$ .

Meine Idee ist aufgrund der Symmetrie zu schlussfolgern, dass ebenfalls gelten muss $\begin{eqnarray*} f(2a)+2\cdot f(b) = f(f(a+b)) = f(2b)+2\cdot f(a) \end{eqnarray*}$ , was mich wegen $\begin{eqnarray*} f(2a)-f(2b) = 2\cdot f(a) - 2\cdot f(b) \end{eqnarray*}$ vermuten lässt, dass lineare Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=mx+n \end{eqnarray*}$ die Funktionalgleichung lösen. Eingesetzt in die Funktionalgleichung bekomme ich raus, dass tatsächlich lineare Funktionen Lösungen sind, wenn $\begin{eqnarray*} m=2 \end{eqnarray*}$ ist oder es sich um die Nullfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ handelt.

Wie kann ich jedoch ausschließen, dass es noch weitere Lösungen gibt?

09.01.2023, 18:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von MasterWizz
Wie kann ich jedoch ausschließen, dass es noch weitere Lösungen gibt?

Tja, das ist die eigentliche Kunst bei Funktionalgleichungen. Augenzwinkern

Ich hab auch noch keine zündende Idee, nur soviel: $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt bekommt man

$\begin{eqnarray*} f(0) + 2f(b) = f(f(b)) \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet, für alle Elemente $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus der Gesamtwertemenge $\begin{eqnarray*} Y:=f\left(\mathbb{Z}\right) \end{eqnarray*}$ der Funktion gilt die Darstellung

$\begin{eqnarray*} f(y) = 2y + f(0) \end{eqnarray*}$ .

Was einem leider noch nicht soviel bringt, solange man nicht mehr über die Struktur von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ in Erfahrung bringt. Wie deine beiden Beispiellösungen zeigen, kann $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ verschiedene Gestalt annehmen:
- nur $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$
- die geraden Zahlen
- die ungeraden Zahlen
- vielleicht auch ganz was anderes.

09.01.2023, 22:10

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Wenn $\begin{eqnarray*} f(2a)+2\cdot f(b) = f(f(a+b)) = f(2b)+2\cdot f(a) \end{eqnarray*}$ für alle ganzen Zahlen a,b gilt, dann hat man auch
$\begin{eqnarray*} f(2a) -2\cdot f(a) = f(2b)- 2\cdot f(b) \end{eqnarray*}$ und das geht nur, wenn $\begin{eqnarray*} f(2a)- 2\cdot f(a) \end{eqnarray*}$ konstant ist.
$\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt liefert $\begin{eqnarray*} f(2a)=2f(a)-f(0) \end{eqnarray*}$ .

Auch noch kein Durchbruch, befürchte ich.

09.01.2023, 22:34

HAL 9000

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Am Ende ist es doch ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=x \end{eqnarray*}$ liefert $\begin{eqnarray*} f(2) + 2f(x) = f(f(x+1)) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=x+1 \end{eqnarray*}$ liefert $\begin{eqnarray*} f(0) + 2f(x+1) = f(f(x+1)) \end{eqnarray*}$ .

Gleichsetzung ergibt $\begin{eqnarray*} f(x+1)-f(x) = \frac{f(2)-f(0)}{2} =: m \end{eqnarray*}$ konstant (d.h. unabhängig von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ), womit der lineare Ansatz $\begin{eqnarray*} f(x)=mx+n \end{eqnarray*}$ gerechtfertigt ist. Den Rest hat MasterWizz ja schon erledigt.

10.01.2023, 09:01

MasterWizz

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Das ist natürlich auch eine sehr elegante Idee! Im Grunde folgt ja aus $\begin{eqnarray*} f(x+1)-f(x) = \frac{f(2)-f(0)}{2} = \text{const} \end{eqnarray*}$ auch direkt, dass der Anstieg zwischen zwei beliebigen Punkten gleich groß sein muss. Daher der lineare Ansatz, richtig?

Und es ist damit auch wirklich ausgeschlossen, dass es noch weitere Funktionen gibt, die diese Bedingung erfüllen? Nur weil mir nichts weiter einfällt, heißt das ja für gewöhnlich noch nichts Big Laugh

10.01.2023, 09:09

HAL 9000

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Ja klar: $\begin{eqnarray*} f(x+1)-f(x) = \text{const} \end{eqnarray*}$ bedeutet Linearität, wie ich geschrieben hatte.

Glücklicherweise geht es hier ja um Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ der Funktion. Hätten wir stattdessen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , würde diese Gleichung allein natürlich noch nicht für Linearität reichen.

10.01.2023, 09:57

IfindU

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Um es zu beweisen, kann man wie folgt vorgehen. Sei $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(x) = m + f(x-1) = m + (m + f(x-2)) = 2m + f(x-2) \ldots = mx + f(0) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} b = f(0) \end{eqnarray*}$ haben wir also klassisch $\begin{eqnarray*} f(x) = mx + b \end{eqnarray*}$ . Auch schön zu sehen über die Teleskopsumme $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^x (f(k) - f(k-1)) = f(x) - f(0) \end{eqnarray*}$ .

10.01.2023, 10:12

MasterWizz

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Sehr cool, ich habs verstanden! Vielen lieben Dank für eure Erklärungen!! smile

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