Welche Funktion ist stetig, differenzierbar bzw. stetig differenzierbar?

09.01.2023, 18:37

anonym777

Welche Funktion ist stetig, differenzierbar bzw. stetig differenzierbar?

Meine Frage:
n = 0,1,2
f_n: [0, ?): x^n*(cos(1/x)-1)) für x > 0 und für 0 für x = 0

Welche Funktion ist stetig, differenzierbar bzw. stetig differenzierbar auf dem Definitionsbereich?

Meine Ideen:
Ableitung suchen
Epsilon Delta Kriterium

09.01.2023, 19:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von anonym777
Welche Funktion ist stetig, differenzierbar bzw. stetig differenzierbar auf dem Definitionsbereich?

Gemeint ist wohl eher, für alle drei Funktionen diese drei Eigenschaften zu prüfen. Wobei es jeweils reicht, die (von links nach rechts gelesen) maximal gültige Eigenschaft nachzuweisen und die nächsthöhere zu widerlegen. Wenn man z.B. feststellt, dass die Funktion nicht mal stetig ist, haben sich auch die beiden nächsten Punkte erledigt, denn die setzen ja Stetigkeit voraus.

Fangen wir mit $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ an, d.h.

$\begin{eqnarray*} f_0(x) = \begin{cases} \cos\left(\frac{1}{x}\right)-1 & \mbox{ für }x > 0\\ 0 & \mbox{ für }x =0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Irgendeine Vorstellung, was da für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ mit den Funktionswerten passiert?

10.01.2023, 11:38

anonym777

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Ich würde sagen gegen null

10.01.2023, 13:09

HAL 9000

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Na gut, dann plotten wir mal - bzw. wir versuchen es:

Der hiesige Plotter ist von den immer heftigeren Oszillationen für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ ein wenig überfordert. Jedenfalls bedeuten diese, dass in jedem noch so kleinen Intervall um 0 alle Funktionswerte von -2 bis 0 zu finden sind. Klingt nicht sehr nach Stetigkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ...

10.01.2023, 13:19

anonym777

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Und mit welchem Kriterium ist dies nachweisbar?
Bzw. Wie lässt sich das zeigen, dass die Funktion nicht stetig ist?

10.01.2023, 13:30

HAL 9000

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Hab ich doch gerade angedeutet. Du kannst auch konkret eine Argumentfolgen $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ angeben mit

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f_0\left(x_n\right)=-2 \end{eqnarray*}$ ,

die Periodizität der Kosinusfunktion sollte helfen, die zu finden. Im Stetigkeitsfall sollte jedoch $\begin{eqnarray*} f_0(0)=0 \end{eqnarray*}$ für diesen Grenzwert herauskommen.

10.01.2023, 19:10

anonym777

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Also ist die Funktion stetig

10.01.2023, 20:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von anonym777
Also ist die Funktion stetig

NEIN! Sie ist unstetig - sag mal, liest du überhaupt durch, was ich schreibe, oder überfliegst du nur grob, und ziehst dann daraus solche falschen Schlüsse wie jetzt eben?

Ich bereue es jetzt schon, hier im Thread geantwortet zu haben. Auf die Besprechung von $\begin{eqnarray*} f_1,f_2 \end{eqnarray*}$ verzichte ich daher, da wird es nämlich um einiges komplizierter.

11.01.2023, 10:55

anonym777

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Ok, also die Funktion ist nicht stetig und somit auch nicht stetig differenzierbar, aber ist sie nur differenzierbar?

11.01.2023, 11:06

HAL 9000

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Dir fehlen auch wirklich alle Grundlagen:

Stetigkeit ist notwendig für Differenzierbarkeit, und Differenzierbarkeit ist notwendig für stetige Differenzierbarkeit. (*)

Wenn die Funktion also nicht stetig ist, dann ist sie auch nicht differenzierbar und erst recht nicht stetig differenzierbar.

Das alles habe ich (etwas anders formuliert) bereits oben schon erwähnt:

Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn man z.B. feststellt, dass die Funktion nicht mal stetig ist, haben sich auch die beiden nächsten Punkte erledigt, denn die setzen ja Stetigkeit voraus.

Aber das hast du überlesen, wie so vieles in diesem Thread.

Damit bleibt es dabei, für $\begin{eqnarray*} f_1,f_2 \end{eqnarray*}$ benötigst du einen verständnisvolleren Helfer - ich wollte aber wenigstens noch die Betrachtung von $\begin{eqnarray*} f_0 \end{eqnarray*}$ ordentlich abschließen.

13.01.2023, 17:07

anonym777

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Wie müsste die Argumentfolge aussehen, damit man auf den Grenzwert von -2 kommt?
Könnte man 1/n einsetzen, welche gegen null konvergiert, aber dann würde ja cos von (1/0) rauskommen?

13.01.2023, 23:53

klauss

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Zitat:

Original von anonym777
... aber dann würde ja cos von (1/0) rauskommen?

Das soll ja sinngemäß auch immer rauskommen, wenn das Argument gegen 0 geht. Entscheidend ist, dass für jede beliebige Nullfolge der Cosinus-Term den Grenzwert 1 liefern müßte, damit die Funktion stetig ist, was eben nicht der Fall ist.

Zitat:

Original von anonym777
Wie müsste die Argumentfolge aussehen, damit man auf den Grenzwert von -2 kommt?

Ich nehme an, hier wurde angespielt auf etwa
$\begin{eqnarray*} x_{n}=\frac{1}{(2n-1)\pi }~;~n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

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