Nachweis DGL

10.01.2023, 07:54

MMchen60

Nachweis DGL

Liebe Forumsgemeinde, ich hänge an der Aufgabe gemäß Anhang. Gehe ich richtig in der Annahme, dass ich hier alle partiellen Ableitungen bis hin zur 2. Ableitung bilden muss, diese gemäß der linken Seite der Lösung einzusetzen und es muss dann die rechte Seite der Lösung herauskommen?
Vielen Dank für Antwort.

10.01.2023, 08:45

HAL 9000

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Nicht alle, nur die vier angegebenen. Und das ist ja nun angesichts des einfachen Zwischenresultat $\begin{eqnarray*} z_y = -\exp\left(-\frac{y}{x}\right) \end{eqnarray*}$ (was du als Ausgangspunkt zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} z_{xy} = z_{yx} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} z_{yy} \end{eqnarray*}$ nehmen kannst) auch nicht so aufwändig.

10.01.2023, 08:57

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nicht alle, nur die vier angegebenen. Und das ist ja nun angesichts des einfachen Zwischenresultat $\begin{eqnarray*} z_y = -\exp\left(-\frac{y}{x}\right) \end{eqnarray*}$ (was du als Ausgangspunkt zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} z_{xy} = z_{yx} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} z_{yy} \end{eqnarray*}$ nehmen kannst) auch nicht so aufwändig.

OK, danke, habe das jetzt für z_x und z_y mal gemach, siehe Anhang. Aber, wie mache ich das mit $\begin{eqnarray*} xz_{xy} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} yz_{yy} \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} z_{xy} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} z_{xx} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z_{yy} \end{eqnarray*}$ als zweite partielle Ableitungen sind mir klar, aber mit Doppelvariable xz bzw. yz?
Danke für Antwort.

(nach Fehlerfeststellung Abeltiung z_y korrigiert.

10.01.2023, 09:00

HAL 9000

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Das ist keine Doppelvariable, sondern dort ist schlicht Multiplikation gemeint, ausführlich $\begin{eqnarray*} x\cdot z_{xy} + 2\cdot (z_x+z_y) = y\cdot z_{yy} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Und um nach diesem Missverständnis ein weiteres zu verhindern: Die Differentation hat Vorrang vor der Multiplikation, d.h. es ist $\begin{eqnarray*} x\cdot z_{xy} = x\cdot \left( z_{xy} \right) \end{eqnarray*}$ gemeint und damit nicht etwa $\begin{eqnarray*} \left(x\cdot z\right)_{xy} \end{eqnarray*}$ .

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