Konvergenzaussagen mit e & ln beweisen

10.01.2023, 13:48	mathe-moin	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzaussagen mit e & ln beweisen Meine Frage: Ich möchte diese Aussagen beweisen, komme leider aber nicht weiter. Meine Ideen: In einer ähnlichen Aufgabe haben wir Substitution verwendet, diese hat leider nicht funktioniert. In einer Übung wurde bereits erwähnt, dass e alle anderen Bestandteile "übertrifft", was den limes angeht. Einen Beweis oder dies als Satz haben wir leider nicht gegeben. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!
10.01.2023, 18:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Regel von L'Hospital geht es schnell. a) Der Bruch entsteht direkt b) folgt eigentlich aus a) Bei c) zeige, dass der Logarithmus gegen Null geht, lt. Grenzwertsatzist dann der Grenzwert des Logarithmanden 1 mY+
10.01.2023, 20:03	mathe-moin	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Regel von L'Hospital haben wir leider noch nicht, hättest du für 1) & 2) vielleicht noch einen anderen Tipp?
10.01.2023, 20:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwierig, wenn man erst erforschen muss, was du überhaupt schon anwenden darfst... Man könnte beispielsweise bei (a) $\begin{eqnarray} x=e^t \end{eqnarray}$ substituieren, dann hat man die Grenzwertgleichheit $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} x^{-\alpha} \ln(x) = \lim_{t\to\infty} (e^t)^{-\alpha} t = \lim_{t\to\infty} \frac{t}{e^{\alpha t}} \end{eqnarray}$ . Jetzt die spannende Frage: Was weißt du von der Exponentialfunktion $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ ? Kennst du z.B. die Reihenentwicklung? Oder überhaupt irgendwas anderes?
10.01.2023, 20:52	mathe-moin	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Reihenentwicklung kenne ich und z. B. auch, wie sich e^x sich bei limes x -> ∞ verhält. Deshalb danke für den Tipp mit der Substitution, das hilft mir sehr weiter!

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