Anzahl der quadratischen (Nicht)reste

11.01.2023, 12:18

Malcang

Anzahl der quadratischen (Nicht)reste

Guten Tag zusammen smile

ich möchte für meine Masterarbeit beweisen, dass es modulo ungerade Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ genau so viele quadratische Reste wie Nichtreste gibt. Der Beweis an sich ist mir klar. Es geht mir um eine Formalität. Hier erstmal mein Beweis
Sei $\begin{eqnarray*} a:=\frac{p-1}{2} \end{eqnarray*}$ . Betrachte nun die Elemente $\begin{eqnarray*} 1^2,2^2,\dots,a^2 \end{eqnarray*}$ und zeige, diese sind paarweise inkongruent. Für $\begin{eqnarray*} m,n\in\left\{1,2,\dots,a\right\}, m \neq n \end{eqnarray*}$ sei also $\begin{eqnarray*} m^2\equiv n^2 \pmod p \Leftrightarrow (m-n)(m+n)\equiv 0\pmod p. \end{eqnarray*}$ Es ist dann $\begin{eqnarray*} m\equiv n \pmod p \text{ oder } m\equiv n \equiv p-n \pmod p \end{eqnarray*}$ .
Der Fall $\begin{eqnarray*} m\equiv n \pmod p \end{eqnarray*}$ kann wegen der Annahme $\begin{eqnarray*} m\neq n \end{eqnarray*}$ nicht zutreffen. Also muss gelten: $\begin{eqnarray*} m\equiv p-n\pmod p \end{eqnarray*}$ .

Nun meine Frage. Ich muss ja begründen, dass $\begin{eqnarray*} p-n\not\in\left\{1,2,\dots, a\right\} \end{eqnarray*}$ . In den Beweisen die ich bisher gesehen habe, wird dies mit der Kleiner-Relation < begründet.
Aber die darf ich doch in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ nicht benutzen verwirrt

Schließlich zeige ich dann, dass $\begin{eqnarray*} (a+1)^2, (a+2)^2, \dots, (p-1)^2 \end{eqnarray*}$ mir wieder die gleichen Reste liefert und bin fertig.

Was sagt ihr dazu?

11.01.2023, 12:28

HAL 9000

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Du hast noch nicht wirklich $\begin{eqnarray*} m,n\in\{1,\ldots,a\} \end{eqnarray*}$ benutzt: Damit folgt nämlich $\begin{eqnarray*} 2\leq m+n\leq 2a = p-1 \end{eqnarray*}$ , damit ist $\begin{eqnarray*} m+n \end{eqnarray*}$ garantiert nicht durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

11.01.2023, 12:31

Malcang

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Hallo HAL

Zitat:

Original von HAL 9000
Du hast noch nicht wirklich $\begin{eqnarray*} m,n\in\{1,\ldots,a\} \end{eqnarray*}$ benutzt.Damit folgt nämlich $\begin{eqnarray*} 2\leq m+n\leq 2a = p-1 \end{eqnarray*}$ ...

Diesen Ansatz habe ich den Beweisen so auch gesehen. Aber ich bin wirklich stuzig geworden bei der Benutzung der Kleinerrelation.
Ich sehe natürlich ein dass es gilt, aber ich rechne ja in Restklassen verwirrt

11.01.2023, 12:42

HAL 9000

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Herrje, was ist das wieder für ein Knoten im Gehirn:

Wenn da steht $\begin{eqnarray*} m,n\in\{1,\ldots,a\} \end{eqnarray*}$ , dann sind damit ganzen Zahlen aus diesem Intervall gemeint, und für die wird diese Ungleichung aufgestellt. Dass das in zweiter Linie dann auch Repräsentanten der zugehörigen Restklassen modulo $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sind, ist der nächste Schritt, in dem dann aber auch aufgrund der Doppelungleichung klar ist, dass die Summe $\begin{eqnarray*} m+n \end{eqnarray*}$ niemals in die Restklasse 0 modulo $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ fällt.

Also wenn man bei jeder solchen Trivialität zu einem solchen Roman ausholen muss, dann kann das aber hier noch Jahre dauern.

11.01.2023, 12:46

Malcang

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Ok vielen Dank!

11.01.2023, 13:12

Malcang

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HAL, sorry, das sollte jetzt nicht beleidigend rüberkommen. Ich bin sehr perfektionistisch was Mathematik angeht und mache lieber 20 Fehler in meiner Recherche, als einen winzigen in der Arbeit. Außerdem lerne ich auch bei diesen Fragen immer wieder etwas dazu.

Von daher entschuldige wenn ich zwar entnervt, trotzdem aber erleuchtet geantwortet habe smile

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