Untervektorraum und Basismatrizen

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TryingToUnderstand Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum und Basismatrizen
Meine Frage:
Hallo mal wieder,

Heute habe ich eine Aufgabe, bei der ich mir beim Ansatz nicht sicher bin (Sie ist im Anhang). Es gilt zu Zeigen, dass V ein Untervektorraum ist, sowie dass B und C geordnete Basen sind.

Meine Ideen:
Zu a) und b): Normalerweise sind solche Beweise nichts so schwieriges. Weil es aber diesmal um Funktionen geht, weiß ich nicht, wie ich die zwei Teilaufgaben lösen soll.

Insgesamt ist es keine schwierige Aufgabe, mir fehlt es bisher nur an Ansätzen unglücklich

Daher wäre ich sehr dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen könntet
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

a) Zeige die Gültigkeit der drei Unterraumkriterien

b) Zeige, dass die Mengen linear unabhängig sind und jedes Element erzeugen.

c) Hier würde ich den Endomorphismus angeben.
TryingToUnderstand Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für´s antworten. Ich muss aber gestehen, dass deine Antwort mir nicht wirklich weiterhilft. Ich wusste ursprünglich schon, was ich machen soll, also was zu beweisen war, nur tue ich mich mit diesen etwas schwer, weil hier eben eine Funktion als Element von V gilt und nicht ein normaler Wert...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du die Kriterien doch kennst wieso fängst Du dann nicht mit der Überprüfung an?
Folgende Fragen solltest Du Dir stellen:

Warum ist V nicht leer?
Wie sehen die Elemente von V aus?
Wie addiert man zwei Elemente und ist das Ergebnis wieder in der Menge?
Wie multipliziert man eine Funktion mit einer Zahl und ist das Ergebnis wieder eine Funktion zweiten Grades?
TryingToUnderstand Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hab mich mal dran probiert:

Die erste Bedingung sollte klar sein. Setzt man a,b,c,x = 0 kommt als Lösung die 0 raus, womit V nicht leer sein kann.

Für die 2. Bed.: Sei mit Da aber a,b,c,h,i,j,x,y immernoch im R liegen, sollte gelten, dass die Bed. immernoch erfüllt ist und somit f(x)+f(y) in V sind.

Für die 3. Bed.: Sei Weil auch hier lambda,a,b,c in R liegen, sollte die Bed. erfüllt sein, also lambda * f(x) in V.

Soweit richtig ?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die dritte Bedingung ist fast ok, bei der ersten hat das x=0 nichts zu suchen, denn Du willst ja eine von x abhängige Funktion haben und nicht einen Funktionswert an der Stelle x=0.

An der zweiten Bedingung musst Du aber noch etwas feilen. In V sind Funktionen, Du redest aber nur von einer Funktion f mit unterschiedlichen Argumenten x und y. Die Grundidee mit den Koeffizienten ist korrekt, aber wie gesagt: die richtige Argumentation fehlt noch.
 
 
TryingToUnderstand Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Beim ersten das x weglassen (gilt ja trotzdem, weil mit a,b,c = 0 ein Element in V ist)

Für die 2. hab ich jetzt: Sei mit mit a,b,c,h,i,j in R. Folgerung wie vorher ergibt wieder f(x) + f'(x) in V.

Für die 3. Was meinst du mit fast ok. Sollte ich die lambda Produkte noch als extra Variablen deklarieren, damit es übersichtlicher wird ?


Zur b) hab ich übrigens noch eine Frage: Für l.u soll ja gelten für h*e_1+i*e_2+j*e_3 = 0 => a=b=c=0. Wenn ich die Formel aber ausschreibe bekomme ich: a*(h+i+j)+b*(h+ix+jx^2)+c*(h+ix^2+j^4) = 0, was auch für Werte erfüllt wäre wie z.B h=i=j=1, je nachdem, wie a,b,c gewählt sind. Wie bekomme ich die Variablen weg ?)
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Problem ist die fehlende Abstraktion.
Funktionen haben einen Namen. Beispielsweise Cosinus-Funktion, Logarithmus-Funktion, Exponentialfunktion, Wurzelfunktion. Fällt Dir etwas auf? Bei keiner dieser Bezeichnungen taucht eine Variable auf, denn der Name der Funktion ist unabhängig von einer Variable. Erst wenn die Funktion auf eine Variable angewendet wird, entsteht so etwas wie f(x) oder f(t).

Hinzu kommt (wenn auch vielleicht etwas kleinlicher): Deine letzte Darstellung des Produkts hat noch nicht ganz die Form, die die Funktionen in der Menge haben sollen. Ich würde hier noch ein paar Klammern setzen und vor allem Ausdrücke wie "sollte die Bedingung erfüllt sein" vermeiden, denn damit kannst Du keine Beweise führen.

Zu deiner Frage zu b) schon die erste Implikation ist falsch, denn Du hast doch überhaupt keine Variablen a,b,c in der Gleichung. Wie willst Du dann folgern, dass sie 0 sind? Desweiteren scheinst Du die Definition der nicht verstanden zu haben. Das sind einfach nur die ersten drei Monome.
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