Gleichungen lösen, multivariate Funktion

13.01.2023, 02:14

bubu000

Gleichungen lösen, multivariate Funktion

Hallöchen zusammen,

ich soll die kritischen Punkte einer Funktion berechnen. Jedoch habe ich jetzt die ersten Ableitungen und schaffe es einfach nicht dieses Gleichungssystem zu lösen.
Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben.
Im Anhang seht ihr meinen für heute letzten Versuch.

LG
Bubu

13.01.2023, 02:56

klauss

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RE: Gleichungen lösen, multivariate Funktion
Bereits die Form

I) $\begin{eqnarray*} x\left(4x^{2} +2y^{2} \right) =0 \end{eqnarray*}$

II) $\begin{eqnarray*} y\left(4y^{2} +2x^{2} \right) =0 \end{eqnarray*}$

erleichtert die Fallunterscheidung beträchtlich.

13.01.2023, 08:32

HAL 9000

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Ganz abgesehen davon, ob die Umformungen im obigen Scan sinnvoll bzw. zielführend sind, so verlassen sie doch mit dem plötzlichen Einführen dieser Wurzeln in den Fällen $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$ den Bereich der reellen Zahlen - das muss doch nicht sein und schafft eher neue argumentative Probleme.

13.01.2023, 09:13

bubu000

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Vielen lieben Dank für die schnellen Antworten. Also jetzt habe ich verstanden, warum das mit den Wurzeln problematisch ist.
Diese ausgeklammerte Form der Gleichungen habe ich als erstes gehabt, komme da aber irgendwie garnicht weiter.
Ich dachte, wenn ich paar Stündchen schlaf, kommt die Erleuchtung, aber Pustekuchen Hammer

Muss ich das in der Klammer noch umformen oder kann man jetzt schon erkennen, was die Lösungen sind.

13.01.2023, 09:26

bubu000

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Achso das in der Klammer kann ja nur 0 werden, wenn x=y=0 ist. Also ist das die einzige Lösung. Stimmt das?
Und dann wäre dieser Punkt der Mittelpunkt des Kreises mit Radius 1.
Also des macht jetzt irgendwie total Sinn.

13.01.2023, 10:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von bubu000
Achso das in der Klammer kann ja nur 0 werden, wenn x=y=0 ist. Also ist das die einzige Lösung. Stimmt das?

Ja, aber streng logisch würde man so vorgehen wie von klauss erwähnt: Fallunterscheidung gemäß Nullproduktsatz - z.B. basierend auf Gleichung I:

1.Fall: $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , ergibt eingesetzt in zweiten Fall $\begin{eqnarray*} 4y^3=0 \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ . Dieses $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ ist offenbar Lösung.

2.Fall: $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist aber auch $\begin{eqnarray*} 4x^2+2y^2\geq 4x^2>0 \end{eqnarray*}$ , und damit die I gar nicht erfüllbar.

D.h. so oder ähnlich sollte man schon begründen können, warum es nur diese eine Lösung gibt. Nichts ist peinlicher, als Sachen "trivial" darzustellen und sie dann auf Nachfrage nicht ordentlich begründen zu können.

13.01.2023, 10:45

bubu000

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Vielen lieben Dank. Gott

Und könnt ihr mir noch einen Hinweis geben, wie ich bestimme, ob dieser kritische Punkt auch ein Extrempunkt ist?

13.01.2023, 11:02

URL

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Nachdem alle Summanden von f nichtnegativ sind, sollte das sehr schnell erledigt sein.

13.01.2023, 16:19

Ulrich Ruhnau

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[attach]56669[/attach]
Wie der Contourplot zeigt, ist das Minimum der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^4+y^4+x^2y^2 \end{eqnarray*}$ eher in der Kreismitte zu finden. Was noch andere mögliche kritische Punkte anbelangt, scheint das für mich Definitionssache zu sein.

13.01.2023, 16:22

bubu000

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Ah ok. Das heißt, da alle Summanden von f positiv sind, ist f(x,y) für x und y ungleich 0 immer größer 0.
Also das macht irgendwie Sinn.
Vielen lieben Dank für eure Hilfe, ihr habt mir Klarheit gebracht. Dankschee.

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