Approximation der partiellen Ableitung

15.01.2023, 11:28	Eve-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Approximation der partiellen Ableitung Meine Frage: Hey, ich arbeite mich gerade in einem Buch zu partiellen Differenzialgleichungen ein und dort sind Folgende Approximationen gegeben: $\begin{eqnarray} f_y(x,y)= \frac{f(x,y+h) - f(x,y)}{h} + O(h) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{xx} (x,y) = \frac{f(x-h,y) - 2f(x,y) + f(x+h,y)}{h^2} + O(h^2) \end{eqnarray}$ Jetzt bin ich mir beim Beweis dieser beiden Gleichunge nicht so sicher. Meine Ideen: Bei der ersten Gleichung nehme ich x als Konstant an und wende dann die Taylorreihe an um die f an der Stelle y+h mit dem Entwicklungspunkt y zu approximieren: $\begin{eqnarray} f(y+h) = f(y) + f'(y)h + O(h) \end{eqnarray}$ Da ganze dan Umstellen und es folgt die Behauptung. Bei der zweiten Gleichung mach ich das ganze so ähnlich, aso ich nehme y als konstan an und betrachte die Taylorentwicklung von f(x+h) und f(x-h) dann addiere ich die beiden Gleichungen, Stelle um und es Folgt die Behauptung. Die eigentliche Frage ist ob der Beweis so stimmt (natürlich noch sauber aufgeschrieben/formuliert), also ob ich das ganze auf den eindimensionalen Taylor zurückführen kann?

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