Basis Vektorraum

15.01.2023, 17:34	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Vektorraum Meine Frage: Wir betrachten den R-Vektorraum P_3 := {f aus R[X] \| deg(f) <= 3} = {f(X) = a + bX + cX^2 + dX^3 \| a, b, c, d ? R} der reellen Polynome von Grad kleiner gleich 3 mit der üblichen Addition und Multiplikation. U := {f aus P3 \| f(0) = 0 und f(1) = 0} Bestimme eine Basis B von U und zeige, dass B U {X, X ? 1} eine Basis von P_3 ist. Meine Ideen: Die Definition einer Basis: Für alle u aus U { f(0)=0 , f(1)=0 } gibt es genau ein $\begin{eqnarray} (\lambda _{1}... \lambda _{n}) \in K^{n} \end{eqnarray}$ für die gilt: $\begin{eqnarray} <br /> u= \sum\limits_{k=1}^{n} u_{k}\lambda _{k} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Verstehe ich was falsch oder folgt daraus dann, das a = 0 und b+c+d =0. Also kann B {b} sein, denn wenn Lambda=0 ist, dann ist b0=0=a=b*c+d, womit ich jedes Element aus U erzeugen könnte. Zum zweiten Teil der Aufgabe muss ich glaube ich erstmal das verstehen.
15.01.2023, 17:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Bedingungen a=b+c+d=0 stimmen. Was du danach machst, ist nicht so gut. Für beliebige c,d folgt aus der zweiten Gleichung b=-(c+d). Und damit baust du für beliebige c und d eine Basis von U. Setze z.B. c=1,d=0 und c=0,d=1.
15.01.2023, 18:01	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte noch eine Verständnisfrage. Also wenn ich jetzt die Basis {c,d} habe, dann muss doch Folgendes gelten. Es gibt genau ein $\begin{eqnarray} \lambda _{1} \lambda ,_{2} \in K^{n} mit c\lambda _{1}+d\lambda ,_{2}=0 \end{eqnarray}$ Aber dann gibt es ja nicht genau ein $\begin{eqnarray} \lambda _{1} \lambda ,_{2} \in K^{n} \end{eqnarray}$ , sondern unendlich viele oder? Damit wäre es ja auch meines Wissens keine Base mehr.
15.01.2023, 22:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a, b, c, d sind Koeffizienten. Wenn du gemacht hättest, was ich vorschlug, dann hättest du die Basis $\begin{eqnarray} \{x^3 - x, x^2 - x\} \end{eqnarray}$ gefunden. Das sind zwei reell linear unabhängige Polynome höchstens 3. Grades, die bei 0 und 1 Nullstellen haben. Was willst du mehr?
15.01.2023, 22:42	Weduschij	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke

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