Differenz unabhängiger Zufallsvariablen

16.01.2023, 11:16	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenz unabhängiger Zufallsvariablen Hallo, Seien $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ unabhängige diskrete Zufallsvariablen, ich weiß, dass man $\begin{eqnarray} Z = X+Y \end{eqnarray}$ als die Faltung $\begin{eqnarray} p_Z = p_X p_Y \end{eqnarray}$ ausdrücken kann. Die Rechnung ist mir bekannt, aber wie sieht das aus, wenn wir statt $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} -Y \end{eqnarray}$ hätten? Ist das dann noch immer eine Faltung? Aus $\begin{eqnarray} Z = X - Y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X = x \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} Y = x-z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(Z = z) = P(X-Y=z) = \sum_x P(X=x, Y = x-z) = \sum_x P(X=x)P(Y = x-z) = \sum_x p_X(x) p_Y(x-z) = ? \end{eqnarray*}$
16.01.2023, 12:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist korrekt. Alternativ geht wegen $\begin{eqnarray} X=Y+Z \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} P(Z=z) = \sum_y p_X(y+z)p_Y(y) \end{eqnarray}$ . Und ja, läuft auch unter der Oberbegriff "Faltung", was wegen $\begin{eqnarray} Z = X + (-Y) \end{eqnarray}$ ja auch irgendwie gerechtfertigt ist.
16.01.2023, 13:15	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Mahlzeit HAL, An $\begin{eqnarray} Z = X + (-Y) \end{eqnarray}$ hatte ich auch gedacht. Dann erkennt man die Faltung sofort. Hier $\begin{eqnarray} P(Z=z) = \sum_y p_X(y+z)p_Y(y) \end{eqnarray}$ finde ich die Faltung etwas "versteckt".

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