Transformation Normalverteilung

16.01.2023, 23:36	normalo	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation Normalverteilung Guten Abend Es geht um die Transformation einer beliebigen Gaußfunktion g in eine entsprechende Funktion s, die die Standardnormalverteilung beschreibt. Mit $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot (\frac{x- \mu}{\sigma})^2} \end{eqnarray}$ gelingt dieses Vorhaben durch $\begin{eqnarray} s(x)=g(\sigma \cdot x+ \mu) \cdot \sigma=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}=\frac{1}{1 \cdot \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-0}{1})^2} \end{eqnarray}$ Um mir das auch anschaulich klarzumachen, möchte ich die ganzen Umwandlungen genau verstehen. Mein Versuch der Interpretation wäre wie folgt: (1) Die Addition von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ sorgt dafür, dass der Hochpunkt der Glockenkurve nicht mehr in $\begin{eqnarray} x= \mu \end{eqnarray}$ sondern in x=0 liegt und damit ebenso $\begin{eqnarray} \mu=0 \end{eqnarray}$ folgt. (2) Damit die Wendepunkte in $\begin{eqnarray} x= \pm 1 \end{eqnarray}$ liegen, ist eine Streckung/Stauchung in x-Richtung um den Faktor $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ erforderlich. (3) Um die in (2) durchgeführte Veränderung der Fläche zwischen Graph und x-Achse auszugleichen, wird final wiederum mit dem Faktor $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ in y-Richtung gestreckt/gestaucht, damit der Integralwert dichtenkonform wieder 1 beträgt. Sind meine Argumente für die einzelnen Transformationen so in Ordnung oder habe ich etwas falsch verstanden ? Wie würdet ihr die Transformationen anschaulich erklären ?
17.01.2023, 12:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hast du im Wesentlichen richtig verstanden. In der (GeoGebra-)Grafik ist das auch noch gut nachzuvollziehen. [attach]56691[/attach] Die in die StandardNV transformierte Kurve heisst PHI(Z). Mit einer davon erstellten Tabelle kann auch ohne Technologieeinsatz die Rücktransformation vollzogen werden. mY+
17.01.2023, 13:37	normalo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Rückmeldung. Ich hatte mir auch versucht die einzelnen Transformationen Schritt für Schritt (von schwarz über rot über grün zu blau) mit GeoGebra klar zu machen (siehe Bild). Ich hadere nach wie vor noch etwas mit meinen Thesen in (2) und (3) bzgl. der Streckungen/Stauchungen. Macht man das Strecken/Stauchen wirklich nur aus genau den von mir erwähnten Gründen (Wendepunkt- und Flächenanpassung) oder gibt es da noch sinnvollere, allgmeingültigere Begründungen ?
17.01.2023, 13:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was (2) betrifft: Die Wendepunkte sind nur EIN besonders gut sichtbares Indiz für den Formfaktor $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ der Verteilung. Natürlich betrifft eine Veränderung von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ und die damit verbundene Streckung/Stauchung in x-Richtung den Gesamtverlauf des Graphen. Und zu (3): Flächenanpassung zu einheitlich immer 1 ist nun mal notwendig für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Insofern würde ich da nicht von "nur" sprechen, als wäre das ein minderwichtiger Grund - ganz im Gegenteil. Der Faktor zur Flächenanpassung führt übrigens dazu, dass für die zugehörigen Verteilungsfunktionen $\begin{eqnarray} G(x) = \int\limits_{-\infty}^x g(t)~ \dd t \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} s(x) = \int\limits_{-\infty}^x s(t)~ \dd t \end{eqnarray}$ der Zusammenhang $\begin{eqnarray} S(x) = G(\sigma x +\mu) \end{eqnarray}$ gilt, hier also OHNE vertikale Streckung/Stauchung. Ist in der Grafik von mYthos ja auch gut zu sehen.
17.01.2023, 17:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Transformation ist auch das Verhalten der beiden Verteilungsfunktionen von Interesse. Beide haben die Asymptote P = 1. Der Wendepunkt (µ, 0.5) der gegebenen Verteilungsfunktion P(X) (- er befindet sich an der Stelle des Hochpunktes der Dichtefunktion) wird um die Strecke µ horizontal nach links verschoben. Beide Wendepunkte haben dann den Funktionswert 0.5. Zweitens muss für alle Stellen Z der Standard-Verteilungsfunktion Phi(Z) und die damit korrespondierenden Stellen X der gegebenen Normalverteilungsfunktion P(X) gelten: Phi(Z) = P(X), mit Z = (X - µ)/s (und vice versa). (s .. Standardabweichung sigma) Im Beispiel der Grafik ist Phi(-1) = P(10) = rd. 1.16; Z = (10 - 12)/2 = -1 mY+
18.01.2023, 10:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die beiden Dichtefunktions-Wendepunkte $\begin{eqnarray} \mu\pm \sigma \end{eqnarray}$ besitzen hinsichtlich des Graphen der Verteilungsfunktion folgende geometrische Interpretation: Das sind die Punkte mit maximaler Krümmung ( = minimalem Krümmungskreisradius).
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