Optimaler Fall: Diagonalmatrix

17.01.2023, 10:17	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimaler Fall: Diagonalmatrix Hallo zusammen, gegeben sei eine symmetrisch, pos. definite, invertierbare Matrix $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ und eine veränderbare, positive Größe $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ . Weiterhin betrachten wir den Ausdruck: $\begin{eqnarray} Q=(\sigma I + P)^{-1}\cdot P\cdot \sigma I \end{eqnarray}$ Frage: Für welches $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ maximal diagonal (ohne jetzt eine Matrix-Norm zu definieren)? Wenn ich $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ diagonal wähle, ist der Fall klar, was wenn $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ nicht unbedingt diagonal ist. Grüße, Romaxx
18.01.2023, 14:33	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Frage selbst zu beantworten: Für große $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ reproduziere ich mehr und mehr $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ , denn bei der Invertierung ist mehr und mehr $\begin{eqnarray} \sigma I \end{eqnarray}$ der ausschlaggebendere Anteil (Q umgeformt): $\begin{eqnarray} Q=(I + \frac{P}{\sigma})^{-1}\cdot P \end{eqnarray}$ Je kleiner $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ , desto mehr konvergiert die Matrix gegen $\begin{eqnarray} \sigma I \end{eqnarray}$ (Q wieder umgeformt): $\begin{eqnarray} Q=(\sqrt{\sigma}I+ \frac{P}{\sqrt{\sigma}})^{-1}\cdot \frac{P}{\sqrt{\sigma}}\cdot \sigma I \end{eqnarray}$ Kann mir das jemand bestätigen?
18.01.2023, 14:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß zwar nicht, was du mit "maximal diagonal " überhaupt meinst, aber für große $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ kann man die Neumannsche Reihe in Anschlag bringen. Edit: Ein bisschen genauer: Für große $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ betrachtet man $\begin{eqnarray} \left(I+\frac P \sigma \right ) ^{-1} \end{eqnarray}$ Für kleine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} (\sigma I + P )^{-1} = ( \sigma P^{-1}+I)^{-1}P^{-1} \end{eqnarray}$ In beiden Fällen hat man es mit einer kleinen Störung der Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ zu tun.
18.01.2023, 15:03	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Spannend. Danke für den Hinweis.
18.01.2023, 15:05	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab meine vorherige Antwort noch ergänzt.

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