Eigenschaften einer Matrix aus geg. Informationen erkennen

Neue Frage »

J-Brassmann Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften einer Matrix aus geg. Informationen erkennen
Hey Leute,

bei dieser Übungsaufgabe sollen Eigenschaften einer Matrix anhand von gegebenen Informationen bestimmt werden:

M=reelle Matrix

(1) M hat 6 Zeilen und 5 Spalten
(2) Die vierte Spalte von M lässt sich auf mehr als eine Weise aus den ersten drei Spalten linear kombinieren
(3) M enthält eine reguläre 3x3 Untermatrix

a) Welchen Rang hat die Matrix M?
b) Was sagt es über Spalte 1, 2, 3 aus, dass Spalte 4, auf mehr als eine Weise, aus ihnen linear kombinierbar ist?
c) Was würde es über die Spalten 1, 2, 3 aussagen, wenn die 4. Spalte nur auf eine Art und Weise aus ihnen linear kombinierbar ist?

Ich habe zwei Vermutungen bezüglich a):

1. Vermutung: Die Matrix hat den Rang 3, weil eine reguläre 3x3 Untermatrix enthalten ist.

(Ist eine reguläre Untermatrix immer die größte invertierbare Untermatrix?)

2. Vermutung: Man kann den Rang nur einschränken aber nicht genau bestimmen. Der Rang ist mindestens 3 (wegen der regulären 3x3 Untermatrix) und maximal 4,
weil Spalte 4 (von insgesamt 5) aus den Spalten 1-3, auf mehrere Weisen linear kombinierbar, und somit linear abhängig, ist.

b) In einem anderen Forum habe ich gelernt, dass Spalte 1-3 linear abhängig sind, da es mehrere Möglichkeiten gibt s4 aus s1, s2, s3 zu kombinieren (as1+bs2+cs3=s4 und ds1+es2+fs3=s4, as1+bs2+cs3=ds1+es2+fs3, (a-d)s1+(b-e)s2+(c-f)s3= 0).


Leider gelingt es mir nicht dieses Wissen auf die anderen Fragestellungen zu übertragen. So bin ich bei
c) Da es nur eine Möglichkeit gibt s4 aus s1, s2, s3 zu kombinieren, müssten s1-s3 ja nach b) linear unabhängig sein. Aber nur solange man nicht s4 mitbetrachtet?

Beste Grüße
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vermutung 2b ist zutreffend.
Da sich s4 aus mehreren LK (Linearkombination) der Spalten s1 - s3 ergibt, müssen s1, s2 und s3 lin. abh. sein.
Denn das zugehörige Gleichungssystem für die Parameter der LK hat mehrere Lösungen (für s4 ist s1-s3 keine Basis).
Da es aber eine reguläre 3x3 Matrix gibt, wird also s4 mit zwei von den Spalten s1 - s3 lin. unabhängig sein.

EDIT:
Die 5. Spalte könnte bedingen, dass der Rang der Matrix auch 4 ist.
Dies ist jedoch nicht der Fall, weil die ersten 3 Spalten und damit auch die vierte durch LK der ersten 3 Spalten entstehende 4. Spalte ebenfalls lin. abhängig sind
Daher ist vom maximal möglichen Rang 5 der 6x5-Matrix 2 zu subtrahieren

Beispiel:



Zur Probe: Die 5. Spalte kann beliebig variiert werden, immer wird der Rang = 3 bleiben.

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

a) Der Rang dürfte genau 3 sein.

- Wegen (3) ist er mindestens 3.

- Wegen (2) ist er aber auch höchstens 3: Denn die Aussage "auf mehr als eine Weise" bedeutet, dass es reelle Zahlen gibt mit



so dass für mindestens einen Index gilt. O.B.d.A. sei dies für der Fall, dann gilt durch Umformung

(das beantwortet übrigens gleich auch b) mit)

und auch kann man dann durch Linearkombination von darstellen. Inklusive haben wir damit noch höchstens drei linear unabhängige Spaltenvektoren.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe den vorigen Beitrag noch editiert und genauer beschrieben, weshalb der Rang nur maximal 3 sein kann.

mY+
J-Brassmann Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank!
Ich denke ihr habt mir schonmal sehr weitergeholfen!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »