Lineare Funktion

17.01.2023, 17:23

Cinzio22

Lineare Funktion

Hallo zusammen

Ich bin mich gerade am Vorbereiten auf die nächste Prüfung.
Im Internet hab ich gelesen, dass eine lineare Funktion so definiert ist: f(x) = ax + b, wobei a und b reelle Zahlen sind.

Wir haben immer gesagt, a sei reell, dürfe aber nicht 0 sein. Wenn ich wikipedia aber Glauben schenke, so darf a doch null sein?

Danke fürs Aufklären!

17.01.2023, 17:31

mYthos

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a darf auch 0 sein, dann hat die Gerade f(x) = b eine besondere Lage! Welche?
Welche geometrische bzw. analytische Bedeutung haben denn a und b?

mY+

17.01.2023, 17:42

Cinzio22

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Mir ist klar, dass dann die Steigung 0 ist und somit eine Konstante resultiert.

Nur haben wir das Ganze dann halt nicht mehr als "lineare Funktion" bezeichnet...

17.01.2023, 17:44

Cinzio22

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...aber dann ist das also trotzdem noch eine lineare Funktion...

17.01.2023, 17:49

IfindU

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Wie mythos sagte, ist es üblich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch mit $\begin{eqnarray*} a =0 \end{eqnarray*}$ als lineare Funktion zu bezeichnen. Was wir dir nicht sagen können, ob das bei euch nicht anders ist. Wenn ich "quadratische" Funktion sage, meine ich zumindest $\begin{eqnarray*} g(x) = ax^2 + bx +c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ . So könnte es bei euch auch sein, und $\begin{eqnarray*} f(x) = b \end{eqnarray*}$ heißt bei euch ausschließlich konstant, während "nur" $\begin{eqnarray*} f(x) = ax +b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ "linear" ist.

Mathematiker sind sich leider nicht immer einig was Begriffe angeht. Man hat sich bis heute nicht wirklich einigen können, ob $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl ist oder nicht.

17.01.2023, 17:56

Cinzio22

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Ja, also in unserem Skript wird klar zwischen Konstanten und linearen Funktionen unterschieden. Und entsprechend bei linearen Funktionen ein a ungleich 0 verlangt.

Ich habe deswegen gefragt, weil bei Wikipedia ohne Einschränkung für a von linearen Funktionen gesprochen wird.

Nun gut, dann gilt es das halt zu akzeptieren. Bei der 0 weiss ich's - auch da haben wir eine Extra-Notation (das N mit tiefgestellter 0) eingeführt, um Missverständnissen vorzubeugen. Augenzwinkern

17.01.2023, 18:14

IfindU

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Dann wird es bei euch eben so sein. Noch ein toller, überladener Begriff zum Thema ist positiv-definit. Einige definieren es als die "schwache" Eigenschaft und sagen "strikt positiv-definitiv" zum verstärken, andere nehmen "positiv-definitv" als starke Eigenschaft und schwächen es ab zu "semipositiv definit".

Je nachdem wo dir der Begriff positiv-definit begegnet, gilt auch hier vorsicht. Und davon gibt es leider viele Situationen. Daher immer am Professor halten und dich nicht verwirren lassen Augenzwinkern

17.01.2023, 18:19

mYthos

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Mit $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ wird üblicherweise die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der Null bezeichnet.

f(x) = b ist jedenfalls ebenso eine lineare Funktion.
Ihr Graph ist eine horizontal verlaufende Gerade (ihre Steigung ist 0).

mY+

18.01.2023, 08:53

IfindU

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Zitat:

Original von mYthos
f(x) = b ist jedenfalls ebenso eine lineare Funktion.

mY+

Ansichtssache. Das ist das worauf ich hinaus wollte. Meiner Erfahrung nach ist das die gängigste Definition. Aber eben nicht die einzige. Sei $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Funktion, dann:

Wikipedia definiert:
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist linear, falls $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ existieren mit $\begin{eqnarray*} f(x) = ax + b \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
Cinzios Professor definiert:
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist linear, falls $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq0 \end{eqnarray*}$ existieren mit $\begin{eqnarray*} f(x) = ax + b \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
Lineare Algebra definiert:
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist linear, falls $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f(x) = ax \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Was Wikipedia als lineare Funktion definiert, ist eine affine Funktion in der linearen Algebra. Die Mathematik ist zu alt und zu "dezentral", als dass wir Begriffe eindeutig für jeden Mathematiker für alle Zeiten definieren können. Daher steht es jedem frei alles so zu definieren wie er möchte. Aus Gründen der Klarheit hätte Cinzios Professor allerdings sagen sollen, dass es einer anderen gängigen Definition widerspricht, und man vorsichtig sein soll, wenn man andere Quellen zu rate zieht. In dem Fall sehe ich potentiellen Mehrwert, da $\begin{eqnarray*} f(x) =b \end{eqnarray*}$ die einzige nicht-bijektive Funktion unter der Schar ist. Die einzige beschränkte. Und ist schon ein Außenseiter zu allen anderen Funktionen.

Kritischer hätte ich gefunden, wenn man linear definiert als Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} g(x) = ae^{b\sin (cx)} \end{eqnarray*}$ , aber auch das wäre nicht falsch, bloss unkonventiell.

18.01.2023, 10:28

HAL 9000

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@IfindU

Erinnert mich auch an ein Begriffs-Beispiel aus der Geometrie, das es mal zu deutschlandweiter medialer Aufmerksamkeit gebracht hatte. Wie ich gerade sehe, hat der "Fall" bald 20jähriges Jubiläum. Big Laugh

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