Nicht gleichmäßige Stetigkeit der ln-Funktion

18.01.2023, 20:29	HasongHa	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht gleichmäßige Stetigkeit der ln-Funktion Meine Frage: Ich sollte zeigen, dass die ln Funktion nicht gleichmäßig stetig ist Meine Ideen: Sei \delta > 0 eine fixierte Zahl und x eine positive reelle Zahl. Es gilt: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{aligned} & \left\|f\left(x+\frac{\delta}{2}\right)-f(x)\right\| \\ = & \left\|\ln \left(x+\frac{\delta}{2}\right)-\ln (x)\right\| \\ = & \ln \left(x+\frac{\alpha}{2}\right)-\ln (x) \\ = & D_{D a} \ln \left(x+\frac{\delta}{2}\right)>\ln (x) \\ = & \ln \left(\frac{x+\frac{\delta}{2}}{x}\right) \\ = & \ln \left(\frac{x}{x}+\frac{\frac{\delta}{2}}{x}\right) \\ = & \ln \left(1+\frac{\delta}{2 x}\right), da \quad x \rightarrow \infty \text { folgt: } \\ \rightarrow & 0<\varepsilon\end{aligned}<br /> \end{eqnarray}$ Also kann die Differenz zweier Punkte (oder doch Funktionswerte?) für $\begin{eqnarray} \( \frac{\delta}{2} \) \end{eqnarray}$ beliebig groß werden. Somit ist $\begin{eqnarray} \( \ln (x) \) \end{eqnarray}$ nicht gleichmäßig stetig. Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das so richtig ist, wie ich es geschrieben und gerechnet habe. Ich danke euch für jede Hilfe!
19.01.2023, 09:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht gleichmäßige Stetigkeit der ln-Funktion Du hast gezeigt, dass für $\begin{eqnarray} x\to \infty \end{eqnarray}$ der Abstand beliebig klein wird. Und tatsächlich ist $\begin{eqnarray} \log \end{eqnarray}$ auf Intervallen $\begin{eqnarray} [ \alpha, \infty) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha >0 \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig. Wo es nicht gleichmäßig stetig ist, ist auf $\begin{eqnarray} (0, \alpha) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} x \to 0 \end{eqnarray}$ wäre die sinnvollere Betrachtung.
19.01.2023, 09:48	HasongHa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht gleichmäßige Stetigkeit der ln-Funktion Danke für die Antwort. Also habe ich gezeigt die ln Funktion auf einem bestimmtem positiven Intervall gleichmäßig stetig ist? Ich habe es leider noch nicht so ganz verstanden
19.01.2023, 09:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht gleichmäßige Stetigkeit der ln-Funktion Mir würde es formal nicht ganz ausreichen als Beweis für gleichmäßige Stetigkeit, aber im Kern ja. $\begin{eqnarray} \left\|f\left(x+\frac{\delta}{2}\right)-f(x)\right\| = \ldots = \ln \left(1+\frac{\delta}{2 x}\right) \end{eqnarray}$ Bis hier sind es nur algebraische Umformungen (mit Zwischenschritten die ich nicht alle verstehe, aber am Ende ist es richtig). Und hier statt $\begin{eqnarray} x\to \infty \end{eqnarray}$ zu betrachten, kannst du $\begin{eqnarray} x\to 0 \end{eqnarray}$ betrachten. Der Term (und damit der Abstand der Funktionswerte) wird gegen $\begin{eqnarray} + \infty \end{eqnarray}$ divergieren und die Aussage ist gezeigt.
19.01.2023, 09:58	HasongHa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht gleichmäßige Stetigkeit der ln-Funktion Achso ich dachte ich muss x -> unendlich betrachten. Das macht Sinn, ich danke dir
19.01.2023, 09:58	HasongHa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht gleichmäßige Stetigkeit der ln-Funktion Ich meine x -> 0
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19.01.2023, 10:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht gleichmäßige Stetigkeit der ln-Funktion Du musst nichts Gleichmäßig stetig ist etwas schwächer als "Ableitung ist beschränkt". Dort wo die Ableitung beschränkt ist, ist es gleichmäßig stetig. Wenn du eine Funktion haben möchtest, welche nicht gleichmäßig stetig ist, sollte die Ableitung dort unbeschränkt sein. Hier also eher $\begin{eqnarray} x\to 0 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} x\to \infty \end{eqnarray}$ . Achtung: Es gibt gleichmäßig stetige Funktionen mit "problematischer" Ableitung, siehe $\begin{eqnarray} g \colon [0,\infty) \to [0,\infty), \; g(x) = \sqrt x \end{eqnarray}$ ist gleichmäßig stetig, aber (für $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ ) ist $\begin{eqnarray} g'(x) = \frac 1 { 2\sqrt x} \end{eqnarray}$ unbeschränkt für $\begin{eqnarray} x\to 0 \end{eqnarray}$

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