Algebraische Struktur der Verknüpfungen von Matrizen |
| 19.01.2023, 11:22 | MathePaul | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Algebraische Struktur der Verknüpfungen von Matrizen ich bekomms aus der Vorlesung leider nicht raus. Es gibt leider auch kein offizielles Skript oder PPT-Folien. Meine Frage ist: Welche algebraische Struktur haben die Verknüpfungen von Matrizen? zunächst zu 2x2 - Matrizen: Die M-Addition ist eine abelsche Gruppe, das hatten wir in der Vorlesung gezeigt. Für die M-Multiplikation gelten:
Das hatten wir in der Vorlesung auch gezeigt. Zu den inversen Elementen gibt es ja nicht immer eins, sondern nur, wenn die det(M) != 0 ist. Wir hatten dann gesagt, dass man diese Matrizen ausschließen könnte, aber daraus folgt ja, dass es nicht für jede 2x2 - Matrix ein Inverses gibt und so ist die Matrizenmultiplikation (2x2 - Matrizen) max. ein Monoid. Welche algebraische Struktur bilden dann 2x2 - Matrizen mit Add. und Mult.? Ein mehrdimensionaler Ring (Modul)? Wir hatten nun von den 2x2 - Matrizen auf n x n - Matrizen geschlossen, somit sollte das auch für die quadratischen n x n gelten. Was gilt nun für m x n - Matrizen? Die Abgeschlossenheit ist bei jeglicher Verknüpfung nicht gegeben und es ist nur eine "lose" Verknüpfung ohne algebraische Struktur? Viele Grüße |
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| 19.01.2023, 13:01 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
nxn-Matrizen mit Elementen aus einem Körper K bilden eine Algebra über dem Körper, das ist ein Ring bezüglich Addition und Multiplikation und auch noch ein K-Vektorraum bezüglich Skalarmultiplikation mit Elementen aus K. Die Vektorraum-Dimension ist n². nxm-Matrizen mit Elementen aus einem Körper K kann man addieren und skalar multiplizieren, sie bilden also einen K-Vektorraum der Dimension n*m. |
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| 19.01.2023, 14:24 | MathePaul | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für die Antwort. Dann bildet also keine algebraische Struktur wenn, ? Grüße |
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| 19.01.2023, 17:59 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, das gibt keine Struktur, weil die Matrixmultiplikation bei rechteckigen nichtquadratischen Matrizen nicht definiert ist. |
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| 19.01.2023, 19:24 | MathePaul | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für die Rückmeldung! |
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| 19.01.2023, 19:48 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
Man könnte natürlich eine definieren, z.B. die punktweise Multiplikation. Damit würden ziemlich viele Axiome erfüllt werden... Es ist bloss nicht eine besonders hilfreiche Multiplikation. Die Matrizen degradieren damit effektiv zu parallelen Rechnungen von Skalaren. |
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