Matrix einer Abbildung fA(x) = Ax ermitteln

19.01.2023, 17:55

Lennart-M

Matrix einer Abbildung fA(x) = Ax ermitteln

Hey,

ich habe leider schon wieder eine Èbungsaufgabe, aus der ich überhaupt nicht schlau werde:

Über eine lineare Abbildung fA:R3->R3 mit fA(x)=Ax sei Folgendes bekannt:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}_1= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ |--> $\begin{eqnarray*} \vec{a}_2= \left(\begin{array}{c} 7 \\ -7 \\ 11 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{a}_1= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ |--> $\begin{eqnarray*} \vec{a}_2= \left(\begin{array}{c} 8 \\ -8 \\ 10 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{a}_1= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ |--> $\begin{eqnarray*} \vec{a}_2= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 11 \\ -7 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Ermitteln Sie die Matrix A der linearen Abbildung fA.

A = $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rrr} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Nun versuche ich die Urbilder(x)/Bilder mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^T \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ =Bild zu verwenden um weiterzukommen. Ich scheitere jedoch kläglich daran. Eine andere Idee habe ich jedoch nicht.

Beste Grüße

19.01.2023, 20:49

mYthos

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Bei 3-maliger Anwendung der Matrixmultiplikation* nach den bekannten Regeln bekommst du 9 einfache Gleichungen in den Variablen a bis i.
Schreibe diese mal untereinander und bezeichne sie mit (1) bis (9).
Dann lassen sich aus (1) und (4) a und c ermitteln, aus (2) und (5) d und f und aus (3) und (6) g und i.
Mit Einsetzen der bisher berechneten Werte in die Gleichungen (7) bis (9) werden die restlichen Variablen b,e und h berechnet.

(*) Die erste der 3 Matrixgleichungen: Edit: Vertauschung berichtigt!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -7 \\ 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus jeder folgen wiederum 3 Gleichungen...

$\begin{eqnarray*} (1) \ 2a \quad \ + 3c = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ 2d \quad \ + 3f = -7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4) \ a \quad \ + 3c = 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

20.01.2023, 23:13

Lennart-M

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Vielen lieben Dank nochmal!

Ich konnte es jetzt auf die Matrix

A= $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rrr} -1 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 3 \\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ ,

bringen.

Viele Grüße

21.01.2023, 01:18

mYthos

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Fast!
.. $\begin{eqnarray*} a_{12} \end{eqnarray*}$ stimmt nicht.

mY+

21.01.2023, 01:28

Helferlein

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RE: Matrix einer Abbildung fA(x) = Ax ermitteln
Eine Alternative wäre gewesen, sich die Bilder der drei Einheitsvektoren aus den gegebenen zusammen zu stellen.

$\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = f\begin{pmatrix} 2\\0\\3 \end{pmatrix} - f\begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} \qquad f\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} = -\frac 13~\left(f\begin{pmatrix} 2\\0\\3 \end{pmatrix} - 2~ f\begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix}\right) \qquad f\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = \frac 13 \left(f\begin{pmatrix} 2\\3\\-2 \end{pmatrix} - 2 f\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + 2 f\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

23.01.2023, 10:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -7 \\ 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gemäß üblicher Regeln der Matrixmultiplikation meinst du stattdessen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -7 \\ 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

An sich kann man das ganze auch gleich zusammenfassen zu $\begin{eqnarray*} A\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 3 & 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 1 \\ -7 & -8 & 11 \\ 11 & 10 & -7 \end{pmatrix}\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Lennart-M
Nun versuche ich die Urbilder(x)/Bilder mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^T \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ =Bild zu verwenden um weiterzukommen.

Genau genommen die richtige Idee: (*) bedeutet nämlich transponiert $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & -2 \end{pmatrix}\cdot A^T = \begin{pmatrix} 7 & -7 & 11 \\ 8 & -8 & 10 \\ 1 & 11 & -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Darauf ist nun die simultane Lösung dreier Gleichungssystem mit derselben Koeffizientenmatrix und drei rechten Seiten anzuwenden, schon hat man das gesuchte $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$

23.01.2023, 13:21

mYthos

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Danke für die Korrektur! In LaTeX genau verkehrt eingegeben und ich hatte es nicht bemerkt .. Teufel

Am Papier war's richtig.

mY+

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