Beweis zu Sigma-Algebra

20.01.2023, 08:28	Atelier16	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu Sigma-Algebra Meine Frage: Ich soll das angehängte zeigen. Meine Ideen: Meine Frage wäre auf was für einer Menge die Sigma-Algebra aus d) ist. Bis jetzt war das bei uns immer gegeben und ich bin dementsprechend ein bisschen verwirrt. Wenn ich das wüsste würde ich den Beweis gerne alleine versuchen. Und zu e). Soll da gezeigt werde, dass die Menge eine Sigma-Algebra auf den reellen Zahlen mit unendlich ist? Ich verstehe da noch nicht so ganz den Bezug zur oberen Aufgabe. Dankeschön!
20.01.2023, 09:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu Sigma-Algebra d) Die Menge soll eine Sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray} U \cup V \end{eqnarray}$ sein. Hätte man dazu schreiben sollen. e) $\begin{eqnarray} \mathcal B(X) \end{eqnarray}$ ist die Borel-Sigma-Algebra für den topologischen Raum $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Wichtig ist, dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine Topologie besitzt, d.h. es das Konzept von offenen Mengen gibt. Dann ist die Borel-Sigma-Algebra, die kleinste Sigma-Algebra, welche die offenen Mengen beinhaltet. Habt ihr auch $\begin{eqnarray} \overline {\mathbb R} \end{eqnarray}$ eine Topologie definiert?
20.01.2023, 11:47	Atelier16	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Die Borelsche-Sigma-Algebra auf den reellen Zahlen mit unendlich haben wir eingeführt als die von t erzeugte Sigma-Algebra wobei t aus allen offenen Mengen in den reellen Zahlen mit unendlich besteht. Ist das entscheidend für den Beweis?
20.01.2023, 12:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitiv entscheidend. Bei e) hast du statt den offenen Mengen die Borel-messbaren Mengen vereinigt mit $\begin{eqnarray} \pm\infty \end{eqnarray}$ . D.h. die angegebene Menge ist potentiell etwas größer als die in der Vorlesung. Man muss noch zeigen, dass sie nicht "tatsächlich" größer ist.
20.01.2023, 13:04	Atelier16	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das macht sinn. Und soll ich dann für den Beweis, dass meine Menge nicht größer ist, die Teilaufgabe d) verwenden?
20.01.2023, 13:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus d) folgt erst einmal nur, dass eine Sigma-Algebra ist. Und damit nicht-kleiner als die Menge aus der Vorlesung ist. (Auch wenn das aus anderen Gründen klar war). Du musst also aus $\begin{eqnarray} \mathcal B(\overline {\mathbb R}) \end{eqnarray}$ gem. Aufgabenstellung eine Menge nehmen und zeigen, dass diese auch $\begin{eqnarray} \mathcal B(\overline {\mathbb R}) \end{eqnarray}$ gem. Vorlesung vorhanden ist.
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