Gruppenoperation auf Homomorphieeigenschaft prüfen

21.01.2023, 11:06	Catrin von Bubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenoperation auf Homomorphieeigenschaft prüfen Meine Frage: Guten Morgen, ich habe die Aufgabe im Anhang. Meine Ideen: Probleme habe ich mit b) und c), denn bei beiden komme ich auf zi=0 und das kommt mir unwahrscheinlich vor. Ich denke deshalb, dass ich Probleme mit dem Verständnis der Aufgabe habe. Ich muss bei b) meiner Meinung nach für das Wirken von t mit z1 und z2 zeigen, für welche zi es gleich ist, ob ich a) zuerst z1 auf a wirken lasse und auf das Ergebnis dann z2 wirken lasse oder b) z1 und z2 verknüpfe und dann das Ergebnis auf a wirken lasse. Für die Verknüpfung muss ich die Addition nehmen. Bei c ist es die Hintereinanderausführung der Operationen alpha und tz. Aber auch dort komme ich auf z=0 denn ich erhalte -(a+z)=-(a-z). Zur Erklärung: wir haben die Thematik frisch in der VL gehabt, aber noch keine Übung. Könnt ihr mir bitte helfen? Liebe Grüße Catrin von Bubi
21.01.2023, 13:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist nicht sehr weit weg vom Ergebnis, aber du musst in ganzen Sätzen reden und nicht nur stammeln. Das ist im Zusammenhang mit Mengen und Abbildungen sehr wichtig, und man benutzt die Prädikatenlogik, in der sich wunderbar ausdrücken lässt, ob Eigenschaften für eine Konstante, eine Variable, alle Elemente einer Menge oder mindestens ein Element einer Menge gelten soll. Bei c) kann man die Gleichheit der zwei Abbildungen so ausdrücken Sei $\begin{eqnarray} z\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ beliebig aber fest gewählt, und es gelte $\begin{eqnarray} \alpha\circ t_z=t_z\circ \alpha \end{eqnarray}$ Dann gilt $\begin{eqnarray} \forall a\in\mathbb Z: \alpha\circ t_z(a)=t_z\circ \alpha (a)\Rightarrow \forall a\in \mathbb Z :-(a+z)=-a+z\Rightarrow \forall a\in\mathbb Z:-z=z\Rightarrow z=0 \end{eqnarray}$
21.01.2023, 14:10	Catrin von Bubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, lieber Elvis. Meine Stammelei war nur die Skizze meiner Gedanken, ich bringe das für c) dann ordentlich zu Papier. Ich habe mir grad die letzten Abschnitte der Vorlesung nochmals vorgenommen. Laut der Notation könnten mit beiden Abbildungen Konjugationen gemeint sein. Nur wie wäre das umsetzbar mit den Abbildungsvorschriften? Oder bin ich auf dem Holzweg? Herzlich Catrin von Bubi
21.01.2023, 14:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrisch sind das Translationen und eine Spiegelung.
21.01.2023, 14:19	Catrin von Bubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Abbildung t ist eine Translation mit festem a. Heißt das, es sind keine Konjugationen?
21.01.2023, 16:16	Catrin von Bubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Idee für b) Sei nun z1 und z2 aus Z beliebig, aber fest. Dann ist tz2(tz1(a))=tz2(a+z1)=a+z1+z2. Und es ist (tz1+tz2)(a)=a+z1+z2. Damit ist tz für alle z ein Gruppenhomomorphismus. Ist das so richtig?
Anzeige

21.01.2023, 18:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist die ganzzahlige Variable, $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ist ganzzahlig fest, $\begin{eqnarray} t_z \end{eqnarray}$ ist eine Translation, die jedem $\begin{eqnarray} a\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ die Zahl $\begin{eqnarray} a+z\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ zuordnet. Translation deswegen, weil der Zahlenstrahl $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ um die Zahl $\begin{eqnarray} z>0 \end{eqnarray}$ nach rechts, um die Zahl $\begin{eqnarray} z<0 \end{eqnarray}$ nach links, um die Zahl $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ nicht verschoben wird. Natürlich ist zwei mal verschieben wieder verschieben, also $\begin{eqnarray} t_{z_2}\circ t_{z_1}=t_{z_1+z_2} \end{eqnarray}$ , geometrisch eine Translation. 2. Deine Idee für b) ist ganz falsch. Nun sieht es so aus, dass ich dich mit dem Hinweis auf die geometrischen Translationen auf das falsche Gleis geführt habe. Du hattest schon ganz recht damit, dass $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus ist (trivial, da wird nichts verschoben, das ist die Identität). $\begin{eqnarray} t_z \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z\ne 0 \end{eqnarray}$ ist aber eine Verschiebung, die 0 geht nicht auf die 0. Ein Homomorphismus muss aber das neutrale Element einer Gruppe auf das neutrale Element einer Gruppe abbilden. 3. Ein Homomorphismus ist dann eine Konjugation, wenn jede Untergruppe auf eine (konjugierte) Untergruppe abgebildet wird. Tut hier nichts zur Sache, aber die Identität= $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ und die 0-Spiegelung $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ sind nicht nur Homomorphismen sondern sogar Automorphismen und Konjugationen. Zufällig sind es die einzigen Automorphismen von $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ - oder nicht ? - Beweis ? [wenn du den Beweis nicht hinkriegst, darfst du schummeln und hier nachgucken: https://de.wikiversity.org/wiki/Z/Automo...abe/L%C3%B6sung] 4. Nachtrag: Den Anfang des Beweises kann man nur verstehen, wenn man die Untergruppen von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ kennt und weiß, dass (Kern und) Bild eines Gruppenhomomorphismus eine Untergruppe der (Urbildgruppe bzw. der) Bildgruppe ist. (Zu Anfang ist Algebra ein wenig schwierig zu verstehen - später wird's noch komplizierter, und am Ende versteht man gar nichts mehr. )
26.01.2023, 08:17	Catrin von Bubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Lieber Elvis, ich war krank geworden und melde mich daher erst jetzt. Ich habe das alles sofort verstanden, den Kniff mit dem Kern finde ich richtig gut. Durch deine ausführlichen Erläuterungen habe ich auch andere Zusammenhänge einmal mehr verstanden. Ganz herzlichen Dank und noch eine schöne Woche Catrin von Bubi

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »