LGS zu Lösungsraum aufstellen

21.01.2023, 21:08	le.ma.the	Auf diesen Beitrag antworten »
LGS zu Lösungsraum aufstellen Meine Frage: ??Hallo, ich bräuchte Hilfe beim Lösen einer Aufgabe. Gegeben ist eine affine Ebene im R^4, die den Lösungsraum eines LGS darstellt, welches ich aufstellen muss. Die Ebene sieht so aus b + <v,w>, wobei b=(5 1 -1 0), v=(2 1 1 -1), w=(2 1 -2 1). Beim Aufstellen des LGS ist mir aufgefallen, dass ich die Theorie wohl nicht ansatzweise verstanden habe, deswegen wäre ich um Hilfe wirklich dankbar. Meine Ideen: Mein jetziges Verständnis sieht so aus: Die Vektoren v1 und v2 spannen den Lösungsraum des homogenen LGS auf, d.h. (da sie lin. unabh. sind) sie bilden eine Basis vom Kern derjenigen lin. Abb. f, die einen Vektor aus meiner affinen Ebene gerade auf eine Lösung des gesuchten LGS wirft. Ich muss also zunächst eine Matrix A bestimmen, sodass A v = A w = 0 gilt. Da die Dimension des zugrundeliegenden VRs 4 ist und die Dimension vom Kern 2, folgt nach der Dimensionsformel, dass dim Im(f) = rg(A) = 2. Wir brauchen also eine 2x4 Matrix. Und hier weiß ich nicht mehr recht, wie ich weitermachen soll. Ich habe erst einmal eine allg. Matrix aufgestellt, aber das hat mir (wie erwartet) nicht weitergeholfen beim Umformen, da kamen nur Dopplungen vor. Ich würde wirklich gern verstehen, was ich hier eigentlich vor mir habe. Um jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.
21.01.2023, 22:39	le.ma.the	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS zu Lösungsraum aufstellen Neuer Stand, ich habe etwas nachgedacht. Wir müssen ja lediglich irgendeine lineare Abbildung finden, die sowohl v1 als auch v2 auf die Null wirft. Also müsste es ja doch klappen, wenn man eine Matrix mit Einträgen (a)ij angibt und einfach mal stumpf multipliziert. Dann ergeben sich für ai1 bis ai4 jeweils bestimmte Bedingungen in Form eines weiteren LGS. Jetzt müsste man doch (da wir zwei Gleichungen zu vier Unbekannten haben) zwei der vier Werte a vorgeben dürfen. Wenn ich mir also zwei der Werte wähle (natürlich die, aus denen sich auch der Wert der anderen folgern ließe), sodass ich zwei linear unabhängige Zeilen herauskriege... habe ich dann auf legitime Art und Weise eine Matrix gefunden? Mir kommt das ganze nur sehr schwammig vor, als würde ich nicht wirklich verstanden haben, was ich da mache. Hilfe wäre sehr willkommen
21.01.2023, 23:27	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS zu Lösungsraum aufstellen Richtige Idee Die beiden Zeilen deiner Matrix müssen senkrecht auf u und v stehen. Weil die ersten beiden Komponenten von u und v gleich sind, kann man einen Kandidaten gleich angeben $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 &-2& 0& 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für den zweiten nutzt man, dass die erste Komponente von u und v gleich ist. Der Ansatz wäre dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0 &a& b& c\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Jetzt bringt man für die fehlenden drei Komponenten das Vektorprodukt der letzten drei Komponenten von u und v ins Spiel. Die fehlende Rechte Seite des GLS bekommt man dann durch eine einfach Multiplikation.
22.01.2023, 08:21	le.ma.the	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS zu Lösungsraum aufstellen Dankeschön! Obwohl wir weder das Konzept von senkrecht aufeinanderstehenden Vektoren noch innere Produkte eingeführt haben, hilft die Antwort bei der Intuition. Zusammengefasst einmal meine Art an solche Aufgaben ranzugehen, bitte korrigiert mich, wenn ich noch einen Denkfehler drin habe: Wir haben den Lös.Raum in Form b +<v1,...vn> gegeben und notieren die Dimension des zugrundeliegenden Vektorraums. Dann wird die lin. Unabh. von v1,...,vn geprüft, wodurch man die Dimension des Kerns und somit per Dim.Formel den Rang der Matrix erhält. Man sucht eine Matrix A, die multipliziert mit den lin. unabh. Vektoren v1,...vn Null ergibt (Lös. des hom. LGS) und darf dabei im Fall, dass es mehr Einträge als Gleichungen (doof ausgedrückt, ich weiß nicht, wie ich es besser schreiben soll...) freie Einträge wählen und den Rest entsprechend aus den gewählten folgern. Die erhaltene Matrix multipliziert man abschließend mit dem Vektor b und erhält den Bildvektor L, also das hier: A*b= L. Anschließend lässt man b einfach weg und hat sein Gleichungssystem. Soweit korrekt? Danke ))
22.01.2023, 18:28	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS zu Lösungsraum aufstellen Etwas konkreter kann man folgendermaßen vorgehen: Wir schreiben die Vektoren $\begin{eqnarray} v_1,\ldots ,v_n \in \mathbb R^m \end{eqnarray}$ als Zeilen in eine Matrix $\begin{eqnarray} B\in \mathbb R^{n\times m} \end{eqnarray}$ . Wir lösen per Gaußalgorithmus die Gleichung $\begin{eqnarray} Bx=0 \end{eqnarray}$ Bei der Gelegenheit zeigt sich auch, wie viele der Vektoren $\begin{eqnarray} v_1,\ldots ,v_n \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind. Nehmen wir an, es sind $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Stück. Also ist $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ der Rang von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und folglich hat der Kern von B die Dimension $\begin{eqnarray} m-k \end{eqnarray}$ . Wir bestimmen eine Basis $\begin{eqnarray} w_1, \ldots , w_{m-k} \end{eqnarray}$ des Kerns von B - nachdem wir das LGS Bx=0 schon gelöst haben, ist das eine einfache Sache. Diese Basisvektoren schreiben wir als Zeilen in eine Matrix $\begin{eqnarray} A\in \mathbb R^{(m-k) \times m} \end{eqnarray}$ . Der Vektor $\begin{eqnarray} Ab \end{eqnarray}$ ist die rechte Seite des gesuchten LGS

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