Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen

22.01.2023, 19:53

Weduschij

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Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen

Meine Frage:
Frage im Anhang

Meine Ideen:
Hey,

Habe Schwierigkeiten eine geeignete Abbildung zu finden ( Momentan sowieso Verständnisprobleme in Algebra). Meine Überlegung:

Eine geeignete Abbildung f: R[X] -> R finden, wobei U= Kern (f) und R = f(R[X]) ist. Glaube R = f(R[X]) ist ja ein logischer Schluss der Abbildung. Laut dem Homomorphiesatz müsste dann R[X]/U isomorph zu R sein.

Wäre für Hilfe sehr dankbar.

Gruß Weduschij

22.01.2023, 20:25

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
Außer $\begin{eqnarray*} f(1)-f(2)=0 \end{eqnarray*}$ hat man nicht viel Informationen, oder? smile

smile

22.01.2023, 20:28

Weduschij

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
Hm. Wenn u aus U ist, gilt dann, dass f(u) = 0 der Kern ist? Hab echt Verständnisprobleme sorry Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.01.2023, 20:38

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
Für $\begin{eqnarray*} f\in U \end{eqnarray*}$ ist doch nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} f(1)-f(2)=0 \end{eqnarray*}$ .
Betrachtet man also die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi: f\mapsto f(1)-f(2) \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls schon mal $\begin{eqnarray*} \varphi(f)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f\in U \end{eqnarray*}$ . Jetzt muss man noch zeigen, dass dieses $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist.

22.01.2023, 20:49

Weduschij

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
Also
1)
Für alle g h aus R[X] muss gelten :
Æ(g+h) = Æ(g)+Æ(h)

Æ(g+h) =(g+h)(1)-(g+h)(2)= g(1)+h(1)-g(2)-h(2)=g(1)-g(2)+h(1)-h(2)=Æ(g)+Æ(h)
2)
Für alle x aus K:

Æ(x*h) = x*Æ(h)

Æ(x*h) = (x*h)(1)-(x*h)(2)=x*(h(1)-h(2))= x*Æ(h)

so?

22.01.2023, 20:50

Weduschij

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
Dieses Æ steht für phi. Sorry

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22.01.2023, 21:06

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
So weit so gut.
Jetzt ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ der Kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist. Bisher wissen wir nur, dass U ein Unterraum davon ist.
Schließlich muss man sich noch um das Bild von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ kümmern.

22.01.2023, 21:17

Weduschij

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
Okay, wie folgt:

Sei g aus U, dann g-> g(1)-g(2)=0

Also für alle g aus U gilt. Æ(g)=0.

Fürs Bild weiß ich nicht genau wie ich das zeigen soll...

22.01.2023, 21:26

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen

Zitat:

Original von Weduschij
Also für alle g aus U gilt. Æ(g)=0.

Das wussten wir doch schon. Die andere Richtung fehlt noch.

Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Bild(\varphi)=\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist (warum?)

22.01.2023, 22:46

Weduschij

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
Also muss ich für ein beliebiges g aus R[X] beweisen, dass aus g(1)-g(2)=0 folgt, dass g aus U ist.

Da daraus folgt, dass g(1)=g(2) ist und U alle f beinhaltet, welche aus R[X) sind und für die halt jene Gleichung gilt, ist g aus U.

Zitat:

RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen

Zitat:
Original von Weduschij
Also für alle g aus U gilt. Æ(g)=0.

Das wussten wir doch schon. Die andere Richtung fehlt noch.

Du musst zeigen, dass Bild(Æ)=ℝ ist (warum?)

Also sei f aus R[X]. dann ist f(1)-f(2)= $\begin{eqnarray*} (a_{0}+a_{1}*1+a_{2}*1^{2}+.....+a_{n} *1^{n})-(a_{0}+a_{1}*2+a_{2}*2^{2}+.....+a_{n} *2^{n})= -a_{1}-a_{2}*3.... \end{eqnarray*}$ da a_n für alle n aus N aus R ist, kann man jedes x aus R abbilden mit entsprechenden a_n.

22.01.2023, 22:53

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
Der erste Teil ist richtig.
Aber ab

Zitat:

Also sei f aus R[X]

ist das leider alles unbrauchbar.
Du willst $\begin{eqnarray*} Bild(\varphi)=\mathbb R \end{eqnarray*}$ zeigen. Also muss es doch anfangen mit: Also sei r eine reelle Zahl...
Dann gilt es zu zeigen, dass es ein Polynom f gibt so dass $\begin{eqnarray*} \varphi(f)=r \end{eqnarray*}$

22.01.2023, 23:11

Weduschij

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
$\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R . Æ(f)=f(1)-f(2) = r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Das scheint mir irgendwie auch unsinnig. ich meine f[X] ist ja laut der Aufgabestellung aus R[X].Da R abgeschlossen ist, ist auch f(1)-f(2) aus R.

22.01.2023, 23:15

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
Es geht nicht darum, ob f(1)-f(2) eine reelle Zahl ist. Das ist klar.
Es geht darum, ob du ein Polynom f finden kannst, so dass $\begin{eqnarray*} \varphi(f)=f(1)-f(2) \end{eqnarray*}$ den vorgegebenen Wert r annimmt.

22.01.2023, 23:19

Weduschij

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
sei f=-r*x

-> f(1)-f(2)=-r-(-2r)=r

22.01.2023, 23:21

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
So einfach kann es sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.01.2023, 23:23

Weduschij

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
Das ist immer das faszinierende am Ende. Jetzt hab ich die 1a), da kommt wohl noch einiges auf mich zu. Vielen Dank für die Hilfe!

22.01.2023, 23:25

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
Gern geschehen. Viel Erfolg mit dem Rest smile

smile

22.01.2023, 23:32

Weduschij

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RE: Isomorphie mit Homomorphiesatz zeigen
Dankeschön

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