(Zustands-)Differentialgleichungen

23.01.2023, 01:43

MeloLunz

(Zustands-)Differentialgleichungen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine mathematische Fragestellung zu einem Thema aus der Regelungstechnik.

Dazu liegt eine (Zustands-)Differentialgleichung vor.
xdot= Ax+Bu

Mit der Matrix
A=[a11,a12,a13,a14;
a21,a22,a23,a24;
a31,a32,a33,a34;
a41,a42,a43,a44]
und

B= [b1,b2,b3,b4]^T

Vorgabe ist: x=[x1,x2,x3,x4]^T
Für meinen Anwendungsbereich soll der Vektor x=[x1,x3,x2,x4]^T lauten. Also wird die 2. und 3. Spalte vertauscht.

Welche Auswirkung hat dies auf die gesamte Differentialgleichung? Wie muss die A-und B-Matrix aufgebaut sein? Muss ich nur die Zeilen oder die Spalten vertauschen?

Wie ist die Vorgehensweise? Ich bitte um Hilfe.
Ich danke Ihnen im Voraus und freue mich über jede Antwort.

Mit freundlichen Grüßen

Meine Ideen:
Zeilen oder Spalten der Matrix A und B vertauschen

23.01.2023, 08:42

HAL 9000

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Beides, d.h. du musst dann mit Matrix $\begin{eqnarray*} \tilde{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{12} & a_{14}\\ a_{31} & a_{33} & a_{32} & a_{34}\\ a_{21} & a_{23} & a_{22} & a_{24}\\ a_{41} & a_{43} & a_{42} & a_{44}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ arbeiten. Bei $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind natürlich nur zweite und dritte Zeile (jeweils ja nur ein Wert) zu tauschen.

Allgemeiner: Wenn du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch irgendeine lineare Transformation $\begin{eqnarray*} x=Uy \end{eqnarray*}$ mit einer regulären Matrix $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ersetzt, dann gilt $\begin{eqnarray*} U\dot{y} = AUy + B \end{eqnarray*}$ bzw. umgestellt $\begin{eqnarray*} \dot{y} = U^{-1}AUy + U^{-1}B \end{eqnarray*}$ . Das gilt auch für Permutationsmatrizen, wobei in diesem speziellen Fall einfach $\begin{eqnarray*} U^{-1}=U^T \end{eqnarray*}$ ist.

In deinem hier vorliegenden Fall wählt man da $\begin{eqnarray*} U= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als eine solche Permutationsmatrix, für die gilt zudem sogar $\begin{eqnarray*} U^T=U \end{eqnarray*}$ .

23.01.2023, 09:43

MeloLunz

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Hallo HAL 9000,

zunächst einmal ein großes Dankeschön dafür, dass Sie mir geantwortet und versucht haben, mir zu helfen!

Ich hatte hier zur Vereinfachung eine 4x4 Matrix verwendet. Dumm von mir, ich dachte, es gäbe dafür eine allgemeine Regel. In Wirklichkeit habe ich aber eine 8x8-Matrix. Wie sollte ich die U-Matrix wählen?

Ich schreibe die tatsächliche Form auf, die ich habe.
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}& a_{13}&a_{14}&a_{15}&a_{16}& a_{17}&a_{18}\\ a_{21}&a_{22}& a_{23}&a_{24}&a_{25}&a_{26}& a_{27}&a_{28}\\ a_{31}&a_{32}& a_{33}&a_{34}&a_{35}&a_{36}& a_{37}&a_{38}\\ a_{41}&a_{12}& a_{13}&a_{14}&a_{15}&a_{16}& a_{17}&a_{18}\\ a_{51}&a_{52}& a_{53}&a_{54}&a_{55}&a_{56}& a_{57}&a_{58}\\ a_{61}&a_{62}& a_{63}&a_{64}&a_{65}&a_{66}& a_{67}&a_{68}\\ a_{71}&a_{72}& a_{73}&a_{74}&a_{75}&a_{76}& a_{77}&a_{78}\\ a_{81}&a_{82}& a_{83}&a_{84}&a_{85}&a_{86}& a_{87}&a_{88} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

von $\begin{eqnarray*} x= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6\\ x_7\\ x_8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf

von $\begin{eqnarray*} x= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_5\\ x_6\\ x_3\\ x_4\\ x_7\\ x_8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , sodass die Zeilen (3 und 4) mit den Zeilen (5 und 6) vertauscht werden.

Es tut mir leid, dass ich nicht gleich das Richtige geschrieben habe, denn ich bin nur davon ausgegangen, dass die Zeilen oder Spalten einfach vertauscht werden. Ich würde mich sehr freuen, wenn Sie mir bei dem konkreten Problem helfen könnten. Ich danke Ihnen im Voraus.

23.01.2023, 09:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von MeloLunz
Dumm von mir, ich dachte, es gäbe dafür eine allgemeine Regel.

Eigentlich habe ich diese allgemeine Regel doch benannt: Permutation der Vektorelemente lässt sich beschreibungsmäßig überführen in Permutationsmatrizen - auch in deinem Fall 8x8. Wo siehst du hier was substanziell anderes?

Ganz ungünstig ist allerdings, dass du sowohl Ausgangsvektor als auch permutierten Vektor BEIDE mit dem selben Symbol $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bezeichnest. Das legt von vornherein den Grundstein für Missverständnisse bei der Referenzierung. Finger2

23.01.2023, 10:06

MeloLunz

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Sie haben Recht, ich hätte mich besser ausdrücken müssen. Dank Ihnen habe ich jetzt eine Idee, wie ich vorgehen kann! Vielen Dank, die Permutationsmatrix war mir neu. Ich werde sie jetzt nachlesen.

VG

23.01.2023, 10:20

HAL 9000

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Ich extrahiere mal noch zwei wichtige Punkte aus dem Wiki-Eintrag zu Permutationsmatrizen:

"Wird eine Matrix von links mit einer Permutationsmatrix multipliziert, dann werden die Zeilen der Matrix gemäß der Permutation vertauscht."

"Wird eine Matrix von rechts mit der transponierten Permutationsmatrix multipliziert, werden entsprechend die Spalten der Matrix gemäß der Permutation vertauscht."

Genau das geschieht beim obigen $\begin{eqnarray*} \tilde{A} = U^{-1}AU = U^TAU \end{eqnarray*}$ . Wobei es egal ist, in welcher Reihenfolge du die beiden Vertauschungsoperationen vornimmst: Zuerst Zeilentausch mit $\begin{eqnarray*} U^T\cdot [\ldots] \end{eqnarray*}$ und danach Spaltentausch mit $\begin{eqnarray*} [\ldots]\cdot U \end{eqnarray*}$ , oder umgekehrt - das Ergebnis ist die selbe Matrix.

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