Erwartungswert Minimum Maximum

24.01.2023, 00:40	Fabio729	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Minimum Maximum Meine Frage: Hallo Zusammen, kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? es geht um folgende Aufgabe: Sei X die erste Augenzahl und Y die zweite Augenzahl beim zweimaligen Werfen eines fairen Würfels. Sei V=min(X,Y) und W=max(X,Y). Berechnen Sie die Kovarianz K(V,W). Hinweis: Um E(VW) zu berechnen, zeigen Sie, dass VW=XY gilt und benutzen die Unabhängigkeit von X und Y. Meine Ideen: Ich habe bereits E(VW) berechnet aber ich komme überhaupt nicht weiter wie ich der Erwartungswert für V und W berechne. Die braucht man doch damit man die Kovarianz für V und W berechnet oder? Vielen Dank!
24.01.2023, 08:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme erst die Verteilung von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ , und mit der dann den Erwartungswert! Es ist $\begin{eqnarray} P(W\leq k) = P(X\leq k,Y\leq k) = P(X\leq k)\cdot P(Y\leq k) =\frac{k^2}{6^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k=0,1,\ldots,6 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} P(W=k) = P(W\leq k) - P(W\leq k-1) = \frac{k^2-(k-1)^2}{6^2} = \frac{2k-1}{36} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k=1,2,\ldots,6 \end{eqnarray}$ . und damit schließlich $\begin{eqnarray} E(W) = \sum_{k=1}^6 k\cdot P(W=k) = \frac{1}{36} \sum_{k=1}^6 k(2k-1) = \frac{161}{36} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ kann man eine ähnliche Rechnung anstellen, oder aber $\begin{eqnarray} E(V+W) = E(X+Y) = 7 \end{eqnarray}$ nutzen, um damit $\begin{eqnarray} E(V) = 7-E(W) = \frac{91}{36} \end{eqnarray}$ zu berechnen.

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