Lebesguemaß - Gleichheit zeigen

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Atelier16 Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesguemaß - Gleichheit zeigen
Meine Frage:
Die Aufgbenstellung ist im Anhang.

Meine Ideen:
Hallo zusammen. Wir machen gerade Maß-und Integrationstheorie und auf dem aktuellen Blatt ist eine Aufgabe die ich gar nicht verstehe. Mir ist nicht so ganz klar wie ich das mit Hilfe der behandelten Themen zeigen soll. Sieht da jemand den Zusammenhang und könnte mir weiterhelfen ? Weiß vielleicht auch jemand was Lambda in dieser Aufgabenstellung ist ? Vielen Dank schonmal im Voraus.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist anzunehmen, dass es sich bei um das -dimensionale Lebesgue-Borel-Maß handelt. Die Behauptung hier bedeutet die Verschiebungsinvarianz dieses Maßes.

Wenn mich meine Erinnerung nicht trügt dann sollte es ausreichen, diese Verschiebungsinvarianz auf einem Erzeugendensystem der zugrunde liegenden Sigma-Algebra nachzuweisen. Für die hiesige Borel-Sigmaalgebra würde sich hier die Menge der halboffenen Intervalle als ein solches Erzeugendensystem anbieten (bzw. halboffene Rechtecke, Quader oder wie immer man das in höheren Dimensionen nennen mag).
Atelier16 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort. Ich verstehe noch nicht so ganz was mit „Verschiebungsinvarianz auf einem Erzeugendensystem der zugrunde liegenden Sigma-Algebra nachzuweisen“ gemeint ist. Wie gehe ich dies am besten an ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht mit so aus, als hast du das „Verschiebungsinvarianz auf einem Erzeugendensystem der zugrunde liegenden Sigma-Algebra nachzuweisen“ einfach nur per Copy+Paste kopiert, ohne auch nur im geringsten drüber nachzudenken. unglücklich

Mal sehen, ob du wirklich gewillt bist, doch mal selbst über einige Begriffe hier nachzudenken. Betrachten wir den einfachsten Fall, also Dimension , und dort das halboffene Intervall . Wie sieht dort das Urbild eigentlich aus?
Atelier16 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen das Urbild ist (c+a,d+a]
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das wäre das Bild, also . Das Urbild ist hingegen .

So, in ist das auch nicht anders, nur dass Addition/Subtraktion dort entsprechend vektoriell gemeint sind. Wie sieht es denn nun mit dem Lebesguemaß-Maß beider -dimensionalen Quader aus, also sowohl von als auch dessen Urbild ?
 
 
Atelier16 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe noch nicht so ganz warum das Bild (c+a,d+a] ist. Ich bilde doch ab nach x -> x-a. Habe ich da einen Denkfehler?
Atelier16 Auf diesen Beitrag antworten »

Das n-dimensionale Lebesguemaß von (c,d] und (c-a,d-a] müsste (d1-c1)(d2-c2)...(dn-cn) sein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich muss mich entschuldigen bzw. mal wieder zum Augenarzt: Ich bin die ganze Zeit von ausgegangen, aber es steht ja deutlich bei dir oben .

Damit hast du vollkommen Recht: Das Bild ist , und das Urbild .

Und ja, das Lebesgue-Maß ist .

Damit ist für das Erzeugendensystem der halboffenen Intervalle die Verschiebungsinvarianz gezeigt.

Nach Maßeindeutigkeitssatz gilt dann auch auf der gesamten daraus erzeugten Borel-Sigmaalgebra.


P.S.: Ich sehe gerade, dass das Symbol für die obere Intervallgrenze auch von mir ziemlich blöd gewählt war, denn d ist ja auch die Raumdimension. Da muss ich aber einen schlechten Tag gehabt haben. Augenzwinkern
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