Ableitung einer cosh-Funktion

24.01.2023, 12:41	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer cosh-Funktion Meine Frage: In Meyberg & Vachenauer "Höhere Mathematik" S. 155/156 geht es um die zweite Ableitung der sog. "Kettenlinie", die einen cosh Ausdruck einschließt. Es wird eine richtige Lösung angegeben, aber nicht hergeleitet. Ich komme auf eine minimal andere Lösung und wollte nach den Zwischenschritten fragen. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \text{Kettenlinie:} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(x) = a \cosh \left(\frac{x-b}{a} \right) + c : \end{eqnarray}$ Mein Zwischenschritt der ersten Ableitung ( y'(x) ) unter Anwendung von den Ableitungsregeln Produkt mit Konstante und Kettenregel: $\begin{eqnarray} y'(x) = \sinh \left(\frac{x-b}{a} \right) \end{eqnarray}$ über Zwischenschritt- $\begin{eqnarray} y'(x) = a \sinh \left(\frac{x-b}{a} \right) \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ , wobei sich (a) und $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ wegkürzen und wobei die erste Ableitung von cosh (x) = sinh (x) ist. y''(x) lässt sich nach Kettenregel einfach herleiten und ist bei mir $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} cosh \left(\frac{x-b}{a} \right) \end{eqnarray}$ Da nun gilt: $\begin{eqnarray} \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x \end{eqnarray}$ , nun Quadratwurzel ziehen ergibt: $\begin{eqnarray} \cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} \end{eqnarray}$ also y''(x) ausgedrückt durch $\begin{eqnarray} y'(x) = y''(x) = \frac{1}{a} \sqrt{1 + y'2} \end{eqnarray}$ Meyberg & Vachenauer kommen aber auf folgende Lösung: $\begin{eqnarray} y''(x) = a \sqrt{1 + y'2} \end{eqnarray}$ , sprich: a statt wie bei meiner Lösung $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} \end{eqnarray}$ als Faktor. Wer hat Recht? Edit (mY+): LaTeX-Wüste berichtigt! Bitte JEDE einzelne Zeile in LaTeX-Tags setzen oder Zeilen innerhalb mit \\ (als Zeilenvorschub) trennen.
24.01.2023, 13:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer cosh Formel Die erste Ableitung stimmt, sie ist $\begin{eqnarray} \sinh \frac {x-b} a \end{eqnarray}$ , weil sich vorne der Faktor a mit der inneren Ableitung kürzt. Was du dann machst, ist unnötig kompliziert und wahrscheinlich auch fehlerbehaftet. Weshalb leitest du $\begin{eqnarray} \sinh \frac {x-b} a \end{eqnarray}$ nicht einfach nochmals - nach der normalen Regel - ab? Anmerkung: Das Argument der sinh- bzw. cosh- Funktion ist und bleibt $\begin{eqnarray} (\frac {x-b} a) \end{eqnarray}$ mY+
24.01.2023, 13:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Kognitivist Was ist eigentlich GENAU dein Anliegen? Durch die grauenhafte Formatierung deines Beitrags ist er schlecht lesbar - hast du alles in eine einzige Formelumgebung gepackt? Anscheinend geht es aber nicht nur um die zweite Ableitung, sondern (wie der Term $\begin{eqnarray} \sqrt{1+y'^2} \end{eqnarray}$ ) andeutet um irgendeinen Zusammenhang zur Kurvenlänge? Also: Bevor du in der Tür ins Haus fällst mit einem Formelwust zur Lösung, schildere klar und deutlich dein Anliegen.
24.01.2023, 13:21	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für meinen Formelwust, aber mein Anliegen ist eigentlich ganz klar: ich komme bei der zweiten Ableitung y''(x) auf eine leicht andere Lösung als im Lehrbuch. Welche stimmt? Wenn meine nicht stimmt, wo ist bei meinen Zwischenschritten der Fehler?
24.01.2023, 13:26	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer cosh Formel Also wenn meine erste Ableitung stimmt muss aiuch meine zweite Ableitung stimmen, denn die Ableitung von cosh (x) ist sinh(x) bzw. umgekehrt. (1/a) ist ganz einfach die Ableitung des Terms (x-b)/a nach Quotientenregel für Ableitungen. Das Umstellen von cosh²(x) auf sinh²(x) unter Nutzung cosh²x - sinh²x = 1 ist Idee der Buchautoren, um irgendwie y''(x) elegant als y'(x)-Funktion darzustellen. Mein Problem ist dass ich auf(1/a) bei der zweiten Ableitung komme und niciht auf (a).
24.01.2023, 13:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y = a\cdot \left(\cosh\left(\frac{x-b}{a}\right)\right) + c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y' = \sinh\left(\frac{x-b}{a}\right) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sqrt{1+y'^2} = \cosh\left(\frac{x-b}{a}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'' = \frac{1}{a}\cosh\left(\frac{x-b}{a}\right) \end{eqnarray}$ Daher ist $\begin{eqnarray} y'' = \frac{1}{a} \sqrt{1+y'^2} \end{eqnarray}$ richtig. Vielleicht liegt eine Verwechslung mit dem ebenfalls richtigen $\begin{eqnarray} y = a\sqrt{1+y'^2}+c \end{eqnarray}$ vor?
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24.01.2023, 13:38	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, sieht also so aus als hätte ich mal was richtig gemacht. Neh, garantiert keine Verwechslung, saß gut eine Stunde drüber um meinen vermeintlichen Fehler zu finden.
24.01.2023, 13:43	Kognitivist	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer cosh Formel Danke für die LaTeX Tipps.

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