Vollständiger Maßraum

24.01.2023, 23:11	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständiger Maßraum Ein Maßraum $\begin{eqnarray} (\omega, A, \mu) \end{eqnarray}$ , der nicht vollständig ist, ist durch { $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ = [0,1],A ={[0,1),(1), $\begin{eqnarray} \emptyset \Omega \end{eqnarray}$ } und $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ({1}) = 1 gegeben. Für A =[0,1) gilt $\begin{eqnarray} \mu(A) = 0 \end{eqnarray}$ und für jede echte Teilmenge B von A gilt B $\begin{eqnarray} \notin A \end{eqnarray}$ . Auf die Frag, warum dieser Maßraum nicht vollständig ist, bekam ich von einem Kursbetreuer an der Fernuni die Antwort, dass ich mich der Antwort dadurch nähern könnte, in dem ich ganz explizit die sigma Algebra aufschreibe und dann die Definition der Vollständigkeit eines Maßraums betrachte. Dazu habe ich im Internet folgendes gefunden: Ein Maßraum ist vollständig, wenn er alle Teimengen seiner Nullmengen enthält. Und die Nullmenge ist eine Teilmenge eines Maßraums mit dem Maß 0. Mir viel bei dem obigen Beispiel dann dazu die $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ , sowie die {1} und die {0} eine. Bei {0,1} war mir das dann nicht mehr klar. Ob das so stimmt?. Die sigma Algebra müsste für [0,1] ja P([0,1]) = { $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ ,{0},{1},{0,1}} sein. Dann folgte: Ein bekanntes Beispiel für eine Vervollständigung ist die Vervollständigung des Lebesgue - Borel Maßes zum Lebesgue Maß. Diese Vervollständigung erklärt auch, warum die Menge der Lebesgue-messbaren Mengen größer ist als die der Borel-messbaren Mengen. Dieses Beispiel für eine Vervollständigung verstehe ich jetzt genau so wenig wie die Tatsache, dass die Menge der Lebesgue-messbaren Mengen größer ist als die der Borel-messbaren Mengen.

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