Determinante und lineare Gruppe |
| 25.01.2023, 09:25 | TryingToUnderstand | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Determinante und lineare Gruppe Hallo an alle Mathematiker, Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich um euer Feedback bitten wollte, ob mein Ansatz richtig ist, bzw. Um Hilfe bitten möchte, das mathematisch Korrekt aufzuschreiben. (Aufgabe siehe Anhang) Meine Ideen: Für die a) hätte ich als Ansatz: Wenn die Matrix A nur Einträge der ganzen Zahlen hat, kann die Determinante z.b. durch den Laplace'schen Entwicklungssatz berechnet werden. Da (-1^n) in den ganzen Zahlen liegt, wie auch a_ij (Weil A aus Einträgen ganzen Zahlen besteht) und die Adjunkte Matrix, die entsteht auch aus den Ganzen Zahlen kommt (weil Adj(A) in A), ist die Determinante auch in den ganzen Zahlen. Noch zur b): 1. A in GL_n(): Allgemein ist GL_n() definiert als Gruppe, die aus Matrizen besteht, die invertierbar sind und dessen determinante nicht 0 ist. Das 2. Kriterium ist schon durch die Aufgabenstellung gegeben. Das 1. Kriterium wird auch durch die Aufgabe erfüllt, da eine quadratische Matrix A nur invers ist wenn: det(A) =/ 0. Mein Problem ist jetzt, abgesehen davon, dass ich für die Rückrichtung noch etwas Hilfe brauche, dass ich nicht einfach den Text schreiben kann sondern alles Formell aufschreiben soll. Ich würde mich also freuen, wenn mir jemand dabei weiterhelfen kann. |
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| 25.01.2023, 12:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gegen gute Texte ist nichts einzuwenden, es muss nicht immer alles formal ausgeführt werden. Formeln sollen dann in Beweisen benutzt werden, wenn sie zur Klärung des Sachverhaltes beitragen, allerdings tun sie das meistens. Für die Umkehrung bei b) beachte dass und ganzzahlige Matrizen sind und also nach a) ganzzahlige Determinanten haben. Den Rest erledigt der Determinantenmultiplikationssatz (formal): |
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