Simultane Diagonalisierung

25.01.2023, 18:39

Staudsauger

Simultane Diagonalisierung

Meine Frage:
Welche Bedingungen mussen A und B erfüllen, damit sie gleichzeitig (also ,,simultan?) ¨
diagonalisiert werden können?

Meine Ideen:
Also in meiner Erinnerung sind ja die Bedingungen dafür Matrix unabhängig!
da Sie ja nur dieselben Eigenvektoren haben müssen oder ?

26.01.2023, 12:00

HAL 9000

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RE: Simultane Diagonalisierung
So wie ich das verstehe fordert man dafür die Existenz einer Matrix $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , so dass es Diagonalmatrizen $\begin{eqnarray*} D_A,D_B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A=TD_AT^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=TD_BT^{-1} \end{eqnarray*}$ gibt.

Zitat:

Original von Staudsauger
da Sie ja nur dieselben Eigenvektoren haben müssen

Das ist nicht ganz dasselbe: Wenn beispielsweise $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mehrfache Eigenwerte haben, dann müssen gewisse Eigenräume von Eigenwerten von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ keineswegs zwingend auch Eigenraum eines Eigenwerts von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sein, und umgekehrt.

Beispiel: Betrachten wir die beiden Diagonalmatrizen $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix}3 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann sind gewiss beide diagonalisierbar mit der gemeinsamen Matrix $\begin{eqnarray*} T=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (Einheitsmatrix) und dann $\begin{eqnarray*} D_A=A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_B=B \end{eqnarray*}$ . Nun ist aber beispielsweise auch $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , aber keiner von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , genauso umgekehrt $\begin{eqnarray*} w=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , aber nicht von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten: https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalis...iagonalisierung

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