Konvergenzradius bestimmen

26.01.2023, 11:53	GeneralIroh	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius bestimmen Meine Frage: Hi, ich bin aktuell in der Klausurvorbereitung und sitze an einer Altklausuraufgabe bei der ich nicht weiterkomme. Ich soll bestimmen für welche $\begin{eqnarray} z\in\mathbb{C} \end{eqnarray}$ die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2+2^n}z^n \end{eqnarray}$ konvergiert. Meine Ideen: Mein Ansatz war $\begin{eqnarray} \limsup_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n^2+2^n}} \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Allerdings komme ich da nicht weiter. Meine einzige Idee ist, dass der Limes Superior zwischen $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ liegen müsste, deshalb hätte ich als mögliche Kandidaten für den Konvergenzradius $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ . Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen oder hat jemand eine bessere Idee?
26.01.2023, 12:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der limsup ist natürlich ganz klar $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} 2^n\geq n^2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq 4 \end{eqnarray}$ , daher kann man abschätzen $\begin{eqnarray} 2^n < n^2+2^n \leq 2^n+2^n = 2^{n+1} \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} 2<\sqrt[n]{n^2+2^n} \leq 2^{1+\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ . Per Sandwich ist dann der Grenzwert klar.

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