Satz von Gauß, Ellipsoidintegral?

27.01.2023, 08:50	Inator	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Gauß, Ellipsoidintegral? Meine Frage: Hi, ich weiß bei folgender Aufgabe leider nicht wie ich parametrisieren/die Grenzen setzten/Transformieren soll. Wäre super wenn mir jemand helfen könnte! Meine Ideen: Grundsätzlich habe ich eine Idee von Oberflächenintegralen, aber hier weiß ich gar nicht weiter.
27.01.2023, 10:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Parametrisierung des Ellipsoid bzw. dessen Oberfläche läuft wie bei Kugelkoordinaten, nur dass die Skalierung der Achsen entsprechend der Ellipsoid-Halbachsen erfolgt. Hier hast du die Halbachsen 1, 2 bzw. 2 in x-,y- bzw. z-Richtung vorliegen, dazu passt dann $\begin{eqnarray} x = r\sin(\theta)\cos(\varphi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = 2r\sin(\theta)\sin(\varphi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = 2r\cos(\theta) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0\leq r\leq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0\leq\theta\leq \pi \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} -\pi < \varphi\leq \pi \end{eqnarray}$ (oder alternativ $\begin{eqnarray} 0\leq \varphi<2\pi \end{eqnarray}$ ) wäre der GESAMTE Ellipsoid. Speziell $\begin{eqnarray} r=1 \end{eqnarray}$ betrifft dann dessen Oberfläche. Nun hast du hier mit $\begin{eqnarray} z\geq 0 \end{eqnarray}$ schon mal nur die obere Hälfte, das bedeutet einschränkend $\begin{eqnarray} 0\leq\theta\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Desweiteren soll dann davon auch noch der Oktant mit $\begin{eqnarray} x\geq 0,y\geq 0 \end{eqnarray}$ ausgeschlossen werden, das entspräche $\begin{eqnarray} 0\leq \varphi\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ im Ausschluss. Beides berücksichtigend bleibt für $\begin{eqnarray} \mathcal{G} \end{eqnarray}$ nur noch der Parameterbereich $\begin{eqnarray} 0\leq\theta\leq \frac{\pi}{2},~\frac{\pi}{2}<\varphi<2\pi \end{eqnarray}$ übrig. Zu beachten ist natürlich, dass dieser Körper $\begin{eqnarray} \mathcal{G} \end{eqnarray}$ nicht nur die gekrümmte Ellipsoid-Teiloberfläche aufweist, sondern noch drei weitere dann ebene Oberflächenanteile: Zwei Viertelellipsen mit den Halbachsen-Kombinationen $\begin{eqnarray} a_x=1,a_z=2 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} a_y=2,a_z=2 \end{eqnarray}$ und als "Boden" eine Dreiviertellipse mit $\begin{eqnarray} a_x=1,a_y=2 \end{eqnarray}$ . Die gehören natürlich auch zur Oberfläche von $\begin{eqnarray} \mathcal{G} \end{eqnarray}$ hinzu. [attach]56750[/attach] P.S.: War ganz schön mühsam, den Marmor-Ellipsoiden zu schleifen, polieren, und dann die überzählige Oktanten exakt rauszufräsen, und am Schluss dann alles zu fotografieren...

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