Reihe Konvergenz

27.01.2023, 15:41

PeterGa01

Reihe Konvergenz

Meine Frage:
Man untersuche folgende Reihe auf Konvergenz und abs. Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{2+(-1)^n}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hätte gesagt sie ist konvergent mit alternierender harmonischer Reihe als Majorante. Abs. K. nicht, da harmonische Reihe eine Minorante darstellt.

27.01.2023, 15:45

Malcang

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RE: Reihe Konvergenz
Hallo,

Zitat:

Original von PeterGa01

Ich hätte gesagt sie ist konvergent mit alternierender harmonischer Reihe als Majorante....

Nur für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade ist, ist der Nenner vom Grad 1. Aber was ist dann mit dem Zähler?
Und wie sieht es für den anderen Fall aus?

27.01.2023, 15:48

PeterGa01

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Kann man das überhaupt unterscheiden? In der Summe wird doch nicht nach gerade und ungerade getrennt oder? Umordnen oder Klammern setzen ist ja auch nicht erlaubt

27.01.2023, 15:51

Malcang

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Zitat:

Original von PeterGa01
Kann man das überhaupt unterscheiden? In der Summe wird doch nicht nach gerade und ungerade getrennt oder? Umordnen oder Klammern setzen ist ja auch nicht erlaubt

Das muss man sogar.
Aber alleine schon die Betrachtung von n ungerade zeigt, worauf das hier hinausläuft.

27.01.2023, 16:01

PeterGa01

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Für n ungerade erhält man die negativen Glieder der harmonischen Reihe, aber ich sehe nicht wie es danach weiter geht.

27.01.2023, 16:06

Malcang

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Zitat:

Original von PeterGa01
Für n ungerade erhält man die negativen Glieder der harmonischen Reihe,...

Und was wissen wir über die (negative) harmonische Reihe?

27.01.2023, 16:19

PeterGa01

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Sie konvergiert

27.01.2023, 16:28

Malcang

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Zitat:

Original von PeterGa01
Sie konvergiert

Möglicherweise denkst du an die alternierende harmonische Reihe.

Etwas ausführlicher:

Wir untersuchen die gegebene Reihe mit der Fallunterscheidung, ob n gerade oder ungerade ist.
Für den Fall, dass n gerade ist, wird jeder Zähler zu $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und jeder Nenner zu $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ .
Für den Fall, dass n ungerade ist, wird jeder Zähler zu $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und jeder Nenner zu $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
So sieht das aus:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{2+(-1)^n}} = \begin{cases} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}, \text{n gerade} \\ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{n}, \text{ n ungerade}<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt bitte nochmal bezüglich der harmonischen Reihe überlegen.

27.01.2023, 17:09

IfindU

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@Malcang Das ist etwas arg unsauber aufgeschrieben. Es sieht so aus, als ob $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ außerhalb der Summe/Reihe eine Bedeutung hat, sonst könntest du die Reihe als ganzes nicht in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade/ungerade teilen.

Was du meinst ist
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{2K} \frac{(-1)^n}{n^{2+(-1)^n}} = \sum\limits_{n=1, n \text{ gerade}}^{2K} \frac{(-1)^n}{n^{2+(-1)^n}} + \sum\limits_{n=1, n \text{ ungerade}}^{2K} \frac{(-1)^n}{n^{2+(-1)^n}} = \sum\limits_{n=1}^{K} \frac{1}{(2n)^3} - \sum\limits_{n=1}^{K} \frac{1}{2n-1} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man argumentieren, dass die Reihe divergiert.

27.01.2023, 20:34

Malcang

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Peinlich, peinlich... traurig

Danke für die Klarstellung, IfindU!

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