Bogen/Kurve berechnen und zeichnen

27.01.2023, 19:06

muellermilch

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Bogen/Kurve berechnen und zeichnen

Hallo zusammen,

ich bin fix und fertig vom Suchen und hoffe nun hier entsprechende Hilfe zu bekommen.

Im Anhang findet ihr ein Bild. Ich habe ein Kreis mit einem Radius von 5 cm.
Um den Kreis möchte ich nun einen Bogen/Kurve berechnen und zeichnen. Die Punkte außerhalb des Kreises stellen den Start und Endpunkt für den Bogen dar.
Wie mache ich das und was fehlt noch, um das Zeichnen zu können?
[attach]56752[/attach]

27.01.2023, 19:29

Steffen Bühler

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RE: Bogen/Kurve berechnen und zeichnen
Willkommen im Matheboard!

Lass einen Winkel bei Null beginnen und einen Radius bei 5,8cm. Erhöhe den Winkel in kleinen Schritten bis $\begin{eqnarray*} 1,5 \cdot \pi \end{eqnarray*}$ und den Radius im entsprechenden Verhältnis auf 8,8cm.

Entweder kannst Du dann jeweils beim Winkel den Radius mit einem Geodreieck abtragen, oder Du berechnest über Sinus und Cosinus die y/x-Koordinaten.

Viele Grüße
Steffen

27.01.2023, 20:06

Leopold

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Im Anhang eine dynamische Zeichnung mit Euklid.

27.01.2023, 20:17

muellermilch

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Hallo Steffen, vielen Dank. Das ich den Radius auch anpassen muss, daran habe ich ja nun garnicht gedacht! Manchmal kann es so einfach sein. Ich habe das ganze über Excel gemacht und mit Sinus und Cosinus die y/x-Koordinaten berechnet.

Da ich einen 270 Grad Kreis benötige, habe ich einfach 0,01 mm pro Grad genommen und komme dadurch am Ende auf 8,5 cm Radius. Das passt.
Wie bekomme ich das jetzt allerdings genau so akkurat aufs Holz ? verwirrt

verwirrt

[attach]56756[/attach]

27.01.2023, 20:18

muellermilch

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Hallo Leopold,

ich muss mir dafür Euklid herunterladen, richtig ?

27.01.2023, 21:44

hawe

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Du kannst auch GeoGebra damit beauftragen

Plot Curve
und add
Curve((5.8 + 3t / (270°)) cos(t), (5.8 + 3t / (270°)) sin(t), t, 0, 270°)

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28.01.2023, 07:39

Ulrich Ruhnau

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RE: Bogen/Kurve berechnen und zeichnen

Zitat:

Original von muellermilch
Ich habe ein Kreis mit einem Radius von 5 cm.
Um den Kreis möchte ich nun einen Bogen/Kurve berechnen und zeichnen. Die Punkte außerhalb des Kreises stellen den Start und Endpunkt für den Bogen dar.
Wie mache ich das und was fehlt noch, um das Zeichnen zu können?
...
Wie bekomme ich das jetzt allerdings genau so akkurat aufs Holz ?

Dir fehlt ein Zirkel, den Du auf 5 cm Radius einstellen kannst. Du kannst aber auch stattdessen eine Schraube nehmen, diese im Kreismittelpunkt in das Holz schrauben und einen Bindfaden mittels einer Schlaufe daran befestigen, an dem ein Bleistift festgeknotet ist. Dann hältst Du den Bleistift senkrecht zur Holzoberfläche und zeichnest einen ganzen Kreis, indem der Faden gespannt bleibt. Für den rechten Winkel nimmst Du das gleichnamige Werkzeug.

28.01.2023, 10:00

muellermilch

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Zitat:

Original von hawe
Du kannst auch GeoGebra damit beauftragen

Curve((5.8 + 3t / (270°)) cos(t), (5.8 + 3t / (270°)) sin(t), t, 0, 270°)

Hallo hawe, das ist ja cool! Dankeschön!

28.01.2023, 10:03

muellermilch

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RE: Bogen/Kurve berechnen und zeichnen

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Dir fehlt ein Zirkel, den Du auf 5 cm Radius einstellen kannst. Du kannst aber auch stattdessen eine Schraube nehmen, diese im Kreismittelpunkt in das Holz schrauben und einen Bindfaden mittels einer Schlaufe daran befestigen, an dem ein Bleistift festgeknotet ist. Dann hältst Du den Bleistift senkrecht zur Holzoberfläche und zeichnest einen ganzen Kreis, indem der Faden gespannt bleibt. Für den rechten Winkel nimmst Du das gleichnamige Werkzeug.

Hallo Ulrich, ja gut, den Kreis bekomme ich hin, aber mit was und wie soll ich den Bogen zeichnen? Ich müsste ja theoretisch pro Grad ein Punkt für x/y setzen und am Ende dann verbinden, aber das stelle ich mir ziemlich schwierig vor.

28.01.2023, 10:44

Steffen Bühler

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RE: Bogen/Kurve berechnen und zeichnen
Ach so, das soll was Handwerkliches werden? Das müsste doch mit einer Schnur gehen, die auf einem Zylinder befestigt ist, dessen Radius so bemessen ist, dass der Abstand beim Abwickeln vier Zentimeter pro Umdrehung länger wird.

28.01.2023, 13:41

muellermilch

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RE: Bogen/Kurve berechnen und zeichnen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ach so, das soll was Handwerkliches werden? Das müsste doch mit einer Schnur gehen, die auf einem Zylinder befestigt ist, dessen Radius so bemessen ist, dass der Abstand beim Abwickeln vier Zentimeter pro Umdrehung länger wird.

Ja richtig.
Das ist ja clever! Gute Idee, aber wie bist du auf 4 cm gekommen?

28.01.2023, 14:30

hawe

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RE: Bogen/Kurve berechnen und zeichnen
So, vielleicht

Abwicklung vom Punkt A über den Kern r=0.637, U=4
genügt das Deinen Genauigkeitsanforderungen?

[attach]56759[/attach]

28.01.2023, 14:40

muellermilch

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RE: Bogen/Kurve berechnen und zeichnen

Zitat:

Original von hawe
So, vielleicht

Abwicklung vom Punkt A über den Kern r=0.637, U=4
genügt das Deinen Genauigkeitsanforderungen?

boar, genial! Kannst du mir die Formel dafür bitte sagen?

28.01.2023, 16:21

HAL 9000

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Du hast recht wenig Vorgaben gemacht zu der Art des Bogens: Nur, dass er um den Kreis herumführen soll.

Die bisherigen Vorschläge betreffen eine arithmetische Spirale. Warum nicht was ganz anderes, z.B. eine Dreiviertelellipse? Die könnte man z.B. mit der hinlänglich bekannten Faden- bzw. Gärtnerkonstruktion auf das Holz zeichnen.

28.01.2023, 16:25

Steffen Bühler

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RE: Bogen/Kurve berechnen und zeichnen

Zitat:

Original von muellermilch
wie bist du auf 4 cm gekommen?

Von 5,8 auf 8,8 sind 3cm für einen Dreiviertelkreis, dann sind es 4cm für den Vollkreis.

Diese 4cm sind also der Zylinderumfang, entsprechend berechnet sich der Radius.

28.01.2023, 20:26

muellermilch

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du hast recht wenig Vorgaben gemacht zu der Art des Bogens: Nur, dass er um den Kreis herumführen soll.

Die bisherigen Vorschläge betreffen eine arithmetische Spirale.

Die arithmetische Spirale reicht mir vollkommen aus. Genau so brauche ich es smile

smile

28.01.2023, 20:26

muellermilch

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RE: Bogen/Kurve berechnen und zeichnen

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von muellermilch
wie bist du auf 4 cm gekommen?

Von 5,8 auf 8,8 sind 3cm für einen Dreiviertelkreis, dann sind es 4cm für den Vollkreis.

Diese 4cm sind also der Zylinderumfang, entsprechend berechnet sich der Radius.

Macht Sinn! Ich danke dir Steffen!

30.01.2023, 10:18

muellermilch

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Ich musste leider meine archimedische Spirale anpassen, sie war zu groß.
Mein Startwert liegt nun bei 6,3 cm und mein Endwert bei 5,35 cm.
Das ergibt 0,95 cm Umfang für ein 3/4 Kreis. Ein Vollkreis hat dementsprechend 1,266667 cm Umfang.
Das wiederum ergibt einen Radius von 0,2 cm. Habe ich das richtig gerechnet?

30.01.2023, 10:34

Steffen Bühler

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Im Prinzip ja. Wenn die Spirale nun anscheinend kleiner wird statt größer, musst Du halt aufwickeln und nicht abwickeln.

30.01.2023, 10:45

muellermilch

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Im Prinzip ja. Wenn die Spirale nun anscheinend kleiner wird statt größer, musst Du halt aufwickeln und nicht abwickeln.

ahh nee, mein Fehler, Start- und Endwert sind natürlich vertauscht. Es bleibt also beim Abwickeln.

30.01.2023, 11:19

HAL 9000

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Man kriegt es zwar handwerklich sowieso nicht so genau hin, aber den Vorschlag von Steffen/hawe unter Berücksichtigung des unterschiedlichen Winkeloffsets bei Abwickelpunkt auf der inneren Rolle bekommt man nicht Radius $\begin{eqnarray*} r = \frac{4}{2\pi}\approx 0.6366 \end{eqnarray*}$ , sondern etwa $\begin{eqnarray*} r\approx 0.6341 \end{eqnarray*}$ .

Ist weniger als ein halbes Prozent, also tatsächlich geschenkt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.01.2023, 12:43

muellermilch

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Ja sooooo extrem genau muss es auch nicht sein Big Laugh

Big Laugh

Viel wichtiger wäre jetzt für mich noch herauszufinden, wie lang meine Spirale ist.
Ich habe diese tolle Formel im Netz gefunden, sehe aber nicht so wirklich durch.
Bitte um Hilfe.

[attach]56768[/attach]

30.01.2023, 13:00

Steffen Bühler

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Verstehst Du die Herleitung nicht oder wie man die Formel anwendet? Diese Formel ist ohnehin nicht für Dein Beispiel geeignet, da sie eine Spirale beschreibt, die mit Länge Null beginnt.

30.01.2023, 13:30

muellermilch

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Verstehst Du die Herleitung nicht oder wie man die Formel anwendet? Diese Formel ist ohnehin nicht für Dein Beispiel geeignet, da sie eine Spirale beschreibt, die mit Länge Null beginnt.

Weder das eine noch das andere verstehe ich nicht. Welche Formel benötige ich denn?

30.01.2023, 13:42

Steffen Bühler

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Du hast in Deiner Excel-Tabelle die Kurve ja in Parameterform eingegeben, also etwa

$\begin{eqnarray*} x(t)=\left( 5.8 + \frac {4t}{2 \pi} \right) \cdot \cos(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t)=\left( 5.8 + \frac {4t}{2 \pi} \right) \cdot \sin(t) \end{eqnarray*}$

Die Herleitung sagt, dass Du nun die Ableitungen von $\begin{eqnarray*} x(t), y(t) \end{eqnarray*}$ bilden musst, diese quadrieren, die Quadrate addieren, daraus die Wurzel und dann alles integrieren. Wenn die 5,8 nicht wären, käme dann die Formel raus, die da steht, da brauchst Du nur noch $\begin{eqnarray*} t=\frac 34 \cdot 2 \pi \end{eqnarray*}$ einzusetzen.

So aber wird die Formel etwas größer. Ein CAS berechnet Dir das natürlich alles gerne.

Andererseits kannst Du aber auch die genannte Formel nehmen, Du musst nur wissen, bei welchem Winkel der Radius 5,8 ist. Dies ist dann der untere Wert für das Integral, der obere 270° weiter.

30.01.2023, 13:48

hawe

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Waren wir jetzt nicht bei R=5.35 auf L=6.3 ?

Ich hab das erstmal handvermessen, weil ggb beim Intergrieren abkackt.
Das sind ca 27,4 cm

Curve((R + (L - R) t / (270°)) cos(t), (R + (L - R) t / (270°)) sin(t), t, 0, 2pi)
und das ausmessende Polygon
Polyline(Sequence(a(k), k, 0, 1.5 pi, 0.05))

Du weißt ja wo's hingehört?

Je kleiner die Schrittweite 0.05 desto genauer

Hab das Integral doch noch gerechnet bekommen (pi als Fließkommazahl 3.14 machts möglich)

~ 27.451 cm

30.01.2023, 14:32

HAL 9000

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Die "Abwickelmethode" ergibt ja nicht exakt die Archimedische Spirale, sondern diese nur in erster Näherung. Tatsächlich bekommt man exakt gerechnet eine Kurve

$\begin{eqnarray*} x(t) = r\cos(t) + (l_0+rt)\sin(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t) = r\sin(t) - (l_0+rt)\cos(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ (der Radius des Abwickelkreises) und $\begin{eqnarray*} l_0 \end{eqnarray*}$ (entspricht der abgewickelten Fadenlänge für Winkel t=0) sind nun so zu wählen, dass es ein $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ (etwas kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ) sowie ein $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ (etwas kleiner als $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ) gibt mit

$\begin{eqnarray*} x(t_1)=5.35, y(t_1)=0, x(t_2)=0,y(t_2)=-6.3 \end{eqnarray*}$ .

Das ist ein wohl nur numerisch lösbares Gleichungssystem mit Ergebnis $\begin{eqnarray*} r\approx 0.2015,l_0\approx 5.0373 \end{eqnarray*}$ und den beiden Parameter(winkel)n $\begin{eqnarray*} t_1\approx 1.5331 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2\approx 6.2512 \end{eqnarray*}$ .

Die Gesamtlänge dieser exakten Abwicklung ist dann

$\begin{eqnarray*} L = \int\limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{(\dot{x}(t))^2+(\dot{y}(t))^2} ~ \dd t \end{eqnarray*}$

Rechnen wir mal kurz aus:

$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t) = (l_0+rt)\cos(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot{y}(t) = (l_0+rt)\sin(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\dot{x}(t))^2+(\dot{y}(t))^2} = l_0+rt \end{eqnarray*}$ .

D.h., die Längenberechnung ergibt hier überraschenderweise ein geschlossen darstellbares Integral:

$\begin{eqnarray*} L = \int\limits_{t_1}^{t_2} (l_0+rt) ~ \dd t = (t_2-t_1)\frac{2l_0+r(t_1+t_2)}{2} \approx 27.47 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Ähem, so überraschend ist es dann doch nicht, wenn man über den Abwickelvorgang hier nachdenkt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.01.2023, 16:18

Steffen Bühler

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Dann zeig ich es auch noch mit der einfacheren Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac {0,95t}{1,5 \pi}=5,35 \to t \approx 26,54 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 12 \cdot \frac {0,95}{1,5 \pi} \cdot \bigg( \left( arsinh (26,54+1,5 \pi)+(26,54+1,5 \pi) \cdot \sqrt{1+(26,54+1,5 \pi)^2} \right)- \left( arsinh (26,54)+26,54 \cdot \sqrt{1+26,54^2} \right) \bigg)\approx 27,468 \end{eqnarray*}$

Und dann noch ganz hemdsärmelig:

$\begin{eqnarray*} \frac 34 \cdot 2\pi \cdot \frac {5,35+6,3}2 \approx 27,45 \end{eqnarray*}$ smile

smile

30.01.2023, 20:35

muellermilch

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Wahnsinn Leute! Mir ist das zwar leider immernoch alles zu hoch mit den ganzen Formeln, aber ich bin dennoch begeistert, wie ihr das berechnet habt.
Die letzte Formel von Steffen finde ich am besten, die passt zu meinem Niveau Big Laugh

Big Laugh

Ich danke euch!

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