Ober- und Unterintegrale |
| 29.01.2023, 13:21 | le.ma.the | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ober- und Unterintegrale Hallo, ich habe eine Frage zur Riemann-Integrierbarkeit. Mir fällt es schwer, ausgehend von einer endlichen Zerlegung den "Grenzprozess" des Zerteilens in immer feinere Rechtecke nachvollziehen zu können. In der Vorlesung wurde eingeführt, dass man ausgehend von einer endlichen Zerlegung des abgeschlossenen Intervalls [a,b] Unter- und Oberintegrale definieren kann, bspw. wird das Oberintegral als das Infimum der "Integrale" (wobei hier noch elementar-geometrisch berechenbare Flächen unter Treppenfunktionen gemeint sind) aller Treppenfunktionen auf dem Intervall definiert. In meiner Vorstellung betrachtet man also jede Treppenfunktion und schaut, wie nah man von oben an die Funktion drankommen kann und wählt nunmal die günstigste Treppenfunktion für die Festlegung des Oberintegrals. Aber bezüglich welcher Zerlegung macht man das? Man muss ja endlich viele "Zerlegungspunkte" haben - also ist ein Grenzwertprozess im Sinne des Intervall-In-Immer-Kleinere-Abschnitte-Unterteilens nicht wirklich vorstellbar, oder? Leider habe ich mir Integrieren immer fälschlicherweise mit diesem Grenzwertprozess vorgestellt. Kann mir jemand helfen, diese Intuition durch eine bessere zu ersetzen? Danke 
Meine Ideen: Ideen habe ich tatsächlich keine, weil ich über die Endlichkeit der Zerlegung nicht wirklich hinweg komme. Wie viele Unterteilungen reichen denn? Wie nah ist nah genug? Kann man auch mit einer groben Unterteilung durch die geeignete Treppenfunktion nah genug rankommen - und warum bzw. wie? Braucht man nicht für eine gewisse Präzision unendlich viele Unterteilungen? Ich bin leider ratlos. |
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| 29.01.2023, 17:49 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ober- und Unterintegrale
Nein, es gibt keine besondere "Wahl" von Treppenfunktionen für die Festlegung des Oberintegrals - das ist eine irrige Vorstellung. Für JEDE Zerlegung des Integrationsintervalls in endlich viele Teilintervalle einer vorgegebenen Maximallänge (sagen wir ) kann eine Obersumme gebildet werden. Betrachtet wird letztlich das Infimum all dieser Obersummen. Analog auch das Supremum aller Untersummen. Dann und nur dann, wenn diese beiden Werte übereinstimmen, spricht man von der Existenz des entsprechenden Riemann-Integrals. Du jagst also einem Phantom nach. |
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