Herleitung Ableitung arsinh (x)

30.01.2023, 14:43

Kognitivist

Herleitung Ableitung arsinh (x)

Meine Frage:
Meyberg / Vachenauer (Höhere Mathematik) S. 156:

Die Funktion arshin (x) ist abzuleiten. Es wird eine Lösung angegeben, die ich nicht nachvollziehen kann (ich bekomme die Zwischenschritte nicht hin).

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} arshin (x)' = ? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} arshin (x) = ln(x+\sqrt{x^{2}+1})//x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(x+\sqrt{x^{2}+1})' = \end{eqnarray*}$

unter Anwendung von $\begin{eqnarray*} ln(x)' = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
und der Kettenregel:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+\sqrt{x^{2}+1)}} (1+ \frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}) (2x) \end{eqnarray*}$

Ich vermute es muss faktorisiert und dann gekürzt werden, aber meine Versuche kommen nicht zum richtigen Resultat, das mit
$\begin{eqnarray*} arshin(x)' = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$
angegeben wird. Wer kann mit Tipps zu den nötigen Zwischenschritten helfen,
vorausgesetzt ich habe die Kettenregel überhaupt richtig angewendet?

30.01.2023, 15:06

HAL 9000

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Falsche Klammersetzung bei der Ableitung - richtig ist $\begin{eqnarray*} \left(\operatorname{arsinh}(x)\right)' = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x\right) \end{eqnarray*}$ .

Den hinteren Klammerterm auf einen Bruchstrich gebracht sieht man dann rasch, dass man zu $\begin{eqnarray*} \left(\operatorname{arsinh}(x)\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$ kürzen kann.

30.01.2023, 15:15

Kognitivist

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Verstehe ich nicht. Die beiden rechten Glieder der dreigliedrigen Kettenregel wären

$\begin{eqnarray*} (x + \sqrt{x^{2}+1})' = (1+\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}})// (x^{2}+1)' = 2x \end{eqnarray*}$

Ich muss die (2x) mit dem ganzen Klammerausdruck multiplizieren, nicht nur mit dem rechten
Glied in der Klammer?

30.01.2023, 15:28

Kognitivist

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f(g(h(x)))' = f(g(h(x)))' g(h(x))' (h(x))'

also

f(g(h(x)))' = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$

g(h(x))' = $\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}} \right) \end{eqnarray*}$

h(x)' = 2x

30.01.2023, 15:38

HAL 9000

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Das ist aber eine lange Leitung. Dann nochmal ganz langsam:

(a) $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgeleitet ist $\begin{eqnarray*} (x)' = 1 \end{eqnarray*}$ .

(b) $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ abgeleitet ist nach Kettenregel $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x \end{eqnarray*}$ . Dieser Faktor $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ der inneren Ableitung gehört nur hierhin, aber NICHT mit dranmultipliziert an den Ableitungswert 1 von (a) !!! Wieso auch, ist doch ein ganz anderer Summand!

Dementsprechend MUSS dort $\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x \end{eqnarray*}$ statt deines $\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\right)\cdot 2x \end{eqnarray*}$ stehen.

30.01.2023, 15:42

Kognitivist

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Ich verstehe, Du meinst:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}} + \left(\frac{x}{(x+\sqrt{x^{2}+1})\sqrt{x^{2} +1}} \right) = \left(\frac{(x+\sqrt{x^{2}+1})}{(x+\sqrt{x^{2}+1}) \sqrt{x^{2}+1}} \right) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \end{eqnarray*}$ und das kürzt sich genial zusammen.

Aber darf ich das? Ich habe die Kettenregel immer so verstanden wie in meiner Antwort vorhin ausgeführt.

30.01.2023, 15:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kognitivist
Ich habe die Kettenregel immer so verstanden wie in meiner Antwort vorhin ausgeführt.

Na gut, betrachten wir nochmal genau deine verkorkste Anwendung der Kettenregel.

Mit $\begin{eqnarray*} g'(h(x)) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$ meinst du doch sicherlich $\begin{eqnarray*} h(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$ ?

Demzufolge meinst du auch $\begin{eqnarray*} g'(t) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{t}} \end{eqnarray*}$ . Das wäre eine passende Ableitung zu $\begin{eqnarray*} g(t) = t + \sqrt{t} \end{eqnarray*}$ .

Dann wiederum wäre der abzuleitende Term $\begin{eqnarray*} g(h(x)) = x^2 + 1 + \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ . Den sehe ich da oben aber nicht, sondern stattdessen nur $\begin{eqnarray*} x + \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$

30.01.2023, 16:11

Kognitivist

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Ok, kapiert,
die Kettenregel greift nur auf den letzten Term.
Ich fürchte ich muss mir die Kettenregel insgesamt nochmals genauer anschauen,
aber deine Argumentattion macht Sinn.

Danke erstmal.

30.01.2023, 16:22

HAL 9000

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Die Kettenregel an sich ist nicht das Problem. Sondern wohl eher, bei sehr komplizierten mehrfach verschachtelten Termen den Überblick über die Struktur zu behalten:

- Was ist jetzt innere und was äußere Funktion?

- Muss ich vielleich "verzweigen", d.h., den Term in eine Summe zerlegen und die Summanden einzeln ableiten. Oder gar bei einem Produkt die Produktregel auf Unterterme anwenden, usw.

31.01.2023, 23:22

Leopold

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Zitat:

Original von Kognitivist
f(g(h(x)))' = f(g(h(x)))' g(h(x))' (h(x))'

Division durch f(g(h(x)))' ergibt (falls der Term nicht gerade 0 ist):

1 = g(h(x))' (h(x))'

Das kann wohl nicht sein!

Das Problem ist der Ableitungsstrich. Er gehört an den Funktionsbezeichner, nicht an den Funktionsterm. Richtig schreiben kann man das nur, wenn man der Verkettung einen Namen gibt:

$\begin{align*} u = f \circ g \circ h \end{align*}$

oder mit unabhängiger Variabler:

$\begin{align*} u(x) = f \left( g \left( h(x) \right) \right) \end{align*}$

Hiermit kann man die Kettenregel formulieren:

$\begin{align*} u'(x) = f' \left( g \left( h(x) \right) \right) \cdot g' \left( h(x) \right) \cdot h'(x) \end{align*}$

Oder abstrakt auf Funktionsebene ohne Mitführung der unabhängigen Variablen:

$\begin{align*} u' = \left( f' \circ g \circ h \right) \cdot \left( g' \circ h \right) \cdot h' \end{align*}$

Ich selbst verwende den Ableitungsstrich bei Funktionstermen eigentlich nur auf dem Schmierblatt, wenn es mal schnell gehen muß und keine Konflikte zu befürchten sind.

Eine andere Methode zur Bestimmung der Ableitung von $\begin{align*} \operatorname{arsinh} \end{align*}$ verwendet die Umkehrbeziehung

$\begin{align*} \sinh \left( \operatorname{arsinh}(x) \right) = x \end{align*}$

Diese wird differenziert und danach der $\begin{align*} \cosh \end{align*}$ mittels der Funktionalgleichung $\begin{align*} \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 \end{align*}$ ersetzt.

EDIT: Sinnentstellende Schreibfehler korrigiert

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